giovedì 28 marzo 2013

webequation - tre

Gentilissimi, eccoVi un'altra webequation. Inviate la soluzione corretta, comprensiva di TUTTI i passaggi risolutivi. NR

"Dalla data di nascita del matematico Perel'man, sottraete il prodotto tra un numero ed il doppio del nono numero primo, ovviamente escludendo il numero 1. Otterrete la differenza tra quel numero ed il triplo della data del sacco di Roma da parte visigota.".

Facile, non credete? NR

un articolo-lezione sulle tassellature

Gentilissimi 2 A, eccoVi un link di riferimento con una ottima lezione-articolo sulle tassellature. Vi sono, inoltre, riferimenti sitografici e bibliografici molto interessanti. Ad essi Vi rimando. NR

tassellature - teoria e riferimenti


teoria delle potenze - preparazione ad una verifica

Gentilissimi 1 A, ma pure di altre sezioni, state forse preparandoVi ad una verifica di teoria sulle potenze? Non siete sicuri di aver ben compreso, pur avendo studiato con costanza? Volete metterVi alla prova? Ecco una serie di domande relative, seppur non esaustive, a tal proposito. Fatene buon uso!
Una nonna che è una potenza (che non abbia base ed esponente 1 o 0, mi raccomando!). NR


1)     COSA SI INTENDE CON POTENZA? COME SONO DETTI I SUOI TERMINI?
2)     SPIEGA, ANCHE CON PAROLE TUE, LA PROPRIETA’ DELLE POTENZE DETTA “POTENZA DI POTENZA”. FAI UN ESEMPIO PER OGNI CASO STUDIATO IN CLASSE.
3)     COSA SI INTENDE CON ELEVAMENTO AL QUADRATO?  COME SI RAPPRESENTA UN ELEVAMENTO AL QUADRATO? RAPPRESENTA CON UN DISEGNO IL QUADRATO DI 6.
4)     A COSA SERVONO LE POTENZE? INDICA L’UTILIZZO DELLE POTENZE NELLA VITA DI TUTTI I GIORNI.
5)     COSA SONO I NUMERI BINARI? A COSA SERVONO?
6)     COSA SONO LE TAVOLE NUMERICHE? COME SI USANO? COME SI TROVANO IL QUADRATO ED IL CUBO DI UN NUMERO?
7)     QUANDO SI USA IL TERMINE EXP?
8)     00
9)     QUANDO E’ UTILE TROVARE IL RISULTATO DI UNA POTENZA?
10)  SPIEGA, ANCHE CON PAROLE TUE, IL “QUOZIENTE DI POTENZE CON UGUAL BASE”
11)  QUANDO UNA PROPRIETA’ DELLE POTENZE PUO’ DARE COME RISULTATO UNA FRAZIONE, O UN NUMERO DECIMALE?
12)  SPIEGA LA PROPRIETA’ “PRODOTTO DI POTENZE CON UGUAL BASE”
13)  SPIEGA LA PROPRIETA’ “PRODOTTO DI POTENZE CON UGUAL ESPONENTE”
14)  SPIEGA LA PROPRIETA’ ”QUOZIENTE DI POTENZE CON UGUAL ESPONENTE”
15)  COSA ACCADE AD UN NUMERO ELEVATO ALLA PRIMA?
15)  COSA SI INTENDE CON  “SVILUPPO DI UNA POTENZA”?
16)  COME SI CALCOLANO LE POTENZE DI 2?
17)  COME SI CALCOLANO LE POTENZE DI 10?
18)  COSA SI INTENDE CON ELEVAMENTO AL CUBO?  COME SI RAPPRESENTA UN ELEVAMENTO AL CUBO? RAPPRESENTA CON UN DISEGNO IL CUBO DI 2.
16)  COSA ACCADE AD UN NUMERO ELEVATO ALLA ZERO? (ES. 1260)
17)  COME SI CALCOLANO LE POTENZE DI ZERO?
18)  COME E’ POSSIBILE, IN ALCUNI CASI, UTILIZZANDO LE TAVOLE NUMERICHE, TROVARE L RISULTATO DI UNA POTENZA CON ESPONENTE 6 O 4 O 9? SPIEGA ANCHE CON TUE PAROLE. FAI UN ESEMPIO SIGNIFICATIVO E NON BANALE.
19)  PERCHE’, A TUO AVVISO, NELLE ESPRESSIONI CON POTENZE, E’ NECESSARIO RISOLVERE PRIMA LE PROPRIETA’ DELLE POTENZE?
20) CONSULTANDO LE TAVOLE SUL LIBRO POTREI TROVARE IL QUADRATO DI 4 451?


enti geometrici fondamentali - uno: il punto

Gentilissimi 1 A, come è possibile considerare la geometria? Sicuramente tutti i libri di testo risponderanno che "la geometria è un ramo della Matematica che si occupa di figure, spazio, misure.". E' "la misura della terra". Tutto vero, sicuramente.
Mi permetto di suggerire che la geometria è "rispetto di regole".
La geometria è un "gioco intelligente". E' un gioco strutturato. Cosa significa? Significa che, se rispetto le regole, riesco a giocare. Se non rispetto le regole, oppure se le cambio, non riesco a giocare.
Sono certa che, mentre a me piace pinnacola e, ovviamente, Machiavelli, a Voi potrebbero interessare Pokemon, calcio e ateltica. Oppure ippica, surf e bocce.
Come si impara a giocare? La risposta è la medesima della domanda "come si impara la geometria?".
Per imparare a giocare devo, necessariamente, conoscere gli strumenti di gioco. In geometria gli strumenti di gioco sono detti "enti geometrici fondamentali". Devo saper riconoscere i quadri dalle picche, le bocce dal boccino, la mia corsia dalle altre. Mentre nei giochi strutturati e in quasi tutti gli sport tali strumenti sono definiti sul regolamento, in Geometria gli enti fondamentali non sono "spiegabili", pur essendo intuitivi. Si tratta di concetti, idee che tutti dovrebbero intuire, come significato. Si tratta di concetti astratti: nessuno ha mai visto, davvero, un punto. Eppure tutti sanno rappresentare "un punto". Quindi: se cerchiamo di spiegare il concetto di punto, tale spiegazione è complessa (e, forse, non utile, alle medie); se cerchiamo di indicarne le "regole", forse, solo forse, potremmo imbarcarci in una avventura divertente, potremmo imparare un nuovo gioco, o un nuovo strumento di gioco.
Come, con le stesse carte si riesce a giocare a scopone scientifico, piuttosto che a rubamazzetto, solo cambiando le regole, se si vuole giocare tali regole devono essere definite PRIMA del gioco stesso.

Gli enti geometrici fondamentali sono tre: punto, retta, piano.

Non potendo spiegare il punto, ne diamo alcune caratteristiche.

Il punto è un ente geometrico fondamentale. E' zero-dimensionale, ossia non è misurabile. Si rappresenta con un puntino indicato da una lettera maiuscola dell'alfabeto.

Attenti! Si rappresenta con un punto E CON UNA LETTERA MAIUSCOLA. Senza lettera non abbiamo rappresentato alcunché, in Geometria.

Sullo stesso piano non è possibile indicare due punti con la stessa lettera. E' possibile indicare due punti utilizzando, ad esempio, le lettere A1, A2, A3, oppure A', A'', A''. NON E' POSSIBILE INDICARE UN PUNTO SENZA ALCUNA LETTERA CHE LO INDIVIDUI.

Alla prossima occasione, Vi indicherò alcune definizioni di punto di matematici ed esperti famosi. NR

mercoledì 27 marzo 2013

esercizi sulle equazioni

Gentilissimi 3 A, viste le richieste eccoVi le pagine da cui trarre i dovuti esercizi di ripasso sulle equazioni.
Utilizzate pure il libro di algebra.
Esercizi:
-  da 99 a 170 a pagg. 200-202
- da 181 a 365 a pagg. 203-213
Sempre sul libro di algebra un ripasso, e, per alcuni, studio da pag. 250 a pag. 264 + appunti; da 293 a 303.
A presto, dopo una vacanza vacante per pausa forzata, a tutti Voi lettori e, mi auguro, fruitori buona S. Pasqua. Un saluto ed un ringraziamento a tutte le Vostre nonne, anche quelle non Rosa. NR

mercoledì 20 marzo 2013

un problema di "range"

Gentilissimi, è possibile che un problema abbia una soluzione compresa tra due estremi, definiti e/o calcolabili? La risposta è: "Certamente!". Si tratta di problemi la cui soluzione è "a range". In altri termini, qualsiasi numero (o quasi), compreso tra un numero minore (a) ed un numero maggiore (b) fornisce una soluzione valida. Un esempio banale potrebbe essere il seguente:

Il camionista Fabio ha caricato casse di agrumi. Ogni cassa pesa 25 kg. Il peso trasportabile dal camion è, al massimo, di 750 kg. Quante casse ha caricato Fabio?

Una volta scritti dati e richiesta, appare evidente che dobbiamo rileggere il testo. Ad un primo approccio sembra che siano mancanti alcuni dati. Tuttavia questo non è vero. I dati sono sufficienti per una risposta. Non si tratta di una risposta determinata. Si tratta di una risposta, appunto, "a range".
Se, al massimo (dato relazionale) Fabio potrà caricare 750 kg, questo significa che, al massimo potrà aver caricato 750:25 casse = ossia 30 casse. Rileggiamo il testo: "Fabio ha caricato casse". Possiamo quindi dire che Fabio ha caricato 1 cassa? A mio avviso la parole "casse" indica, come minimo, due casse. Tuttavia, se il testo non è in verifica, si potrebbe pensare che ne possa caricare anche una sola. Possiamo ipotizzare che Fabio carichi una parte di una cassa? Dalla lettura del testo direi di no! Stiamo parlando di numeri interi o numeri N.
Ricapitolando: Fabio ha caricato un numero di casse compreso tra 2 e 30. Questa è proprio la soluzione cercata. La soluzione dei problemi a range è indicata nel modo seguente, o con un procedimento simile:

1<casse caricate da Fabio<31

Non si tratta di problemi che solitamente sono affrontati negli eserciziari. Tuttavia, nella vita quotidiana, sono problemi che si affrontano quasi quotidianamente. Mi conviene acquistare la lavastoviglie, prendendo i mezzi pubblici per recarmi al lavoro, oppure faccio il pieno, magari mantenendo velocità il più possibile ridotte, e risparmio per il mese prossimo?
Non Vi sembra un problema che, in altri termini, avete già affrontato?
Se pensate sia utile, commentate e rispondete. Se volete inserirò in futuri post problemi simili, della stessa tipologia.
Una nonna a cui si è rotta la lavastoviglie. Nonna Ro(tt)sa

martedì 19 marzo 2013

alcuni esercizi di rappresentazione

Gentilissimi 3 A, come ben sapete, su piano cartesiano una equazione di primo grado è rappresentata da una retta. Ecco alcuni esercizi di rappresentazione:

1) Rappresenta su piano cartesiano la retta di equazione y = - 3x + 4

2) Trova, su piano cartesiano, la coordinata Px del punto P di intersezione tra le rette

r1           y = 2x-5
r2          y = -4x-1

3) Su piano cartesiano è data la retta di equazione y = -x -2
Rappresenta la retta.
Rappresenta una retta p parallela a quella data e non coincidente con essa. Indicane l'equazione relativa.
Rappresenta una retta t perpendicolare a quella data. Indicane l'equazione relativa.

Buon lavoro. N // R

equazione c) - soluzione

Gentilissimi, Mister Jonny chiede la soluzione per l'equazione c). EccoLo accontentato:

1)  -3(X-2) + 5X = - (2X+1) -4(-3X+6)

2) applichiamo la proprietà distributiva

    -3x +6 +5x = -2x -1 +12x -24

3) applichiamo il primo principio delle equazioni

-3x +5x +2x -12x = -6 -1 -24

4) raccogliamo e sommiamo

-8x = -31

5) applichiamo il secondo principio delle equazioni, dividendo entrambi i membri per (-8)

(-8)x : (-8) = (-31) : (-8)

6) risolviamo

x = + 31/8

Semplice, non credete?

sabato 16 marzo 2013

esercizi equazioni

Gentilissimi, ecco, per Voi 3 A, una serie di esercizi in preparazione ad una eventuale verifica sulle equazioni. Sappiate farne buon uso.

A) -3X +2 - X = 2X -4 -5X+2
B) X+3 -3X = 4X+5-9X          
prestate attenzione: è possibile che una equazione, apparentemente in Z, abbia radice in Q
C) -3(X-2) + 5X = - (2X+1) -4(-3X+6)
D) -5/4 X + 7/2 = -1/12 - 5/3 X
E) 1/3 (-X+2) -7/4 - X = -2/3 (X-2) -7/6


F) -   (3X-2)   +  1-X  = 2X + 3   -   -X+5
            4             6          12             2

Buon lavoro! NR

mercoledì 13 marzo 2013

torre di Hanoi

Gentilissimi, le "potenze di 2 - 1" sono utilizzate come numero minimo di mosse necessarie per il gioco La torre di Hanoi. In base a quanto detto in precedenza, allora, il numero di mosse necessarie per risolvere il gioco con 5 mattonelle sarà (2 exp 5) - 1 = 32-1 = 31.
So che volete giocare anche Voi. La regola principale, oltre al fatto che bisogna spostare, dalla prima colonna all'ultima colonna, tutta la torre, è la seguente: una mattonella più grande non può stare sopra ad una mattonella più piccola.
Ecco il link per giocare on line:

La torre di Hanoi

Anche questa informazione, come alcune delle precedenti, sono il frutto della visione di un ottimo dvd, in edicola in questo periodo, della serie "L'avventura della Matematica".
Una nonna quotidiana Rosa (anche se, detto così, sembro La Gazzetta dello Sport). NR

prova invalsi matematica 2008-2009

Gentilissimi 3 A, ma anche B, C ed altre sezioni.
Ecco un link da cui scaricare la prova Invalsi di Matematica dell'a.s. 2008-2009.

prova nazionale matematica 2008-2009

Cercate di risolvere, almeno, i primi 10 esercizi. Inviate commenti e cronometrate i tempi di risoluzione. In un prossimo post, inserirò soluzioni e commenti relativi. NR

18446744073709551615

Un titolo un poco strano, per un post, non Vi pare?
Anche questo numero, in realtà, è particolare.
Ricordate, o Voi 1 A, la storia che, sicuramente, Vi ha raccontato la Vostra nonna, o nonno, di Matematica? Proprio quella del saggio che giocò a scacchi con un imperatore!
Con numerose varianti, il saggio chiede un chicco di riso per la prima casella della scacchiera, il doppio per la seconda casella, il doppio del doppio per la terza casella, e così via!
La frase "il doppio del doppio" Vi ricorda qualcosa? Forse le potenze con base due? Avete proprio ragione!
A questo punto Vi viene assegnato uno strano compito: calcolare 2 exp 64.
In realtà, il calcolo corretto dovrebbe essere 2 exp 63 + 1.
a) Il numero del titolo di questo post è (2 exp 64 - 1).
b) Per trovare 2 exp 64 è sufficiente aggiungere 1.
c) Per trovare 2 exp 63 + 1 dovrete calcolare 2 exp 64. A questo punto dividete per 2. Per la proprietà delle potenze "quoziente di potenze con base uguale", si ottiene: 2 exp 64 : 2 (exp 1) = 2 exp 63
d) Per calcolare 2 exp 63 + 1, ovviamente è sufficiente aggiungere 1.
Facile, non credete?

A cosa serve conoscere questo numero? Forse a nulla. Forse. Oppure, secondo una tradizione indiana, a sapere quando finirà il mondo e l'universo. Secondo una leggenda, con differenti variazioni, è il numero totale di secondi che devono trascorrere dalla costruzione di un tempio alla fine del tutto.
E' forse per questo che tutte le religioni, o quasi, continuano a costruire templi, chiese, sinagoghe, moschee?
Evidentemente sto scherzando, forse! Una nonna che semina dubbi!

martedì 12 marzo 2013

proprietà delle potenze - cinque

Gentilissimi, come si risolvono le "potenze di potenza"?
Facciamo un esempio:
a) 5 exp 4 exp 7 =    ossia
b) (5 exp 4) exp 7 =
abbiamo una potenza con base 5 ed esponente 4, elevata, ancora, alla settima. Sviluppiamo la potenza in parentesi
c) (5x5x5x5) exp 7 =
Applichiamo la proprietà dissociativa della moltiplicazione
d) (5) exp 7 x  (5) exp 7 x  (5) exp 7 x  (5) exp 7 =
e) applicando la proprietà delle potenze detta "prodotto di potenze con base uguale possiamo scrivere
 5 exp (7+7+7+7) =
f) 5 exp (7x4)
g) 5 exp 28 =

Possiamo così dire che:
"Se, in una operazione di elevamento a potenza, abbiamo una POTENZA DI POTENZA, il risultato sarà una potenza. La base sarà la stessa. L'esponente sarà dato dal prodotto degli esponenti."

Ovviamente questa proprietà è valida nel caso in cui ci sia una sola base. Inoltre è valida anche se ci sono più parentesi, con più esponenti.

Ed ora tocca a Voi:
h) 13 exp 11 exp 3 =
i) 26 exp 5 exp 2 exp 10 =
l) 3 exp 3 exp 3 exp 3 exp 3 =

Mi raccomando, senza usare la calcolatrice! E se non mi credete provate pure! Una nonna a favore di scettici. Nonna Rosa

vicini nobili e un problema di cambio

Gentilissimi, come ben sapete i monomi e i polinomi possono essere utilizzati, oltre che per calcolo, anche in problemi di sostituzione. Eccone uno:

La Contea di Balthores ha, come moneta corrente, il Balt.
Il Ducato di Perlingia ha, come moneta corrente, la Corona di Perlingia.
Il Principato delle Maree Eremitiche ha, come moneta corrente, il Dollaro delle Maree.
Sapete che:
1 Balt = 1,73 Corone perlingie
1 Dollaro delle Maree = 2,08 Balt.
Quale dovrebbe essere il cambio tra Corona perlingia e Dollaro delle Maree?
In altre parole:
1 Corona perlingia = ... Dollari delle Maree
1 Dollaro delle Maree = ... Corone perlingie

Se un vaso di ceramica costa, nella Contea di Balt, 2,34 Balt, quale sarà il suo prezzo nelle due altre regioni?

Per quanto mi riguarda ho ottenuto uno sconto del 13% in tutte le regioni. Quanto ho pagato in ogni regione?

Una nonna che ha conoscenze altolocate e nobili (o, forse, sarebbe maglio dire "mobili"). NR

domenica 10 marzo 2013

equazioni incoscienti?

Gentilissimi, una recente ricerca ha mostrato, ovviamente per chi le conosce, che anche inconsciamente il nostro cervello può risolvere equazioni. Il procedimento, con vari passaggi, per risolvere una equazione può essere anche non conscio. Forse le conclusioni paiono un poco "esagerate". Leggete, continuando, tuttavia, a fare esercizio quotidiano. Come al solito l'articolo è tratto da una newsletter (Le Scienze), solo lievemente modificato. NR


linguaggio matematica psicologia
La coscienza non è indispensabile per leggere e far di conto
© Colin Anderson/Corbis 

                                                                   © Westend61/Corbis
Funzioni mentali superiori, come l'elaborazione del senso delle parole e la soluzione di equazioni aritmetiche, non richiedono sempre un intervento cosciente. Lo dimostra un nuovo studio sperimentale, in cui i volontari hanno inconsciamente dato un significato a espressioni verbali e numeriche nell'arco di una presentazione subliminale.(red)
La coscienza è davvero indispensabile per elaborare processi astratti, simbolici o che richiedono un certo insieme di regole? Probabilmente no, secondo un articolo apparso sui “Proceedings of the National Academy of Sciences”, firmato da un gruppo di ricercatori del Dipartimento di psicologia, del Dipartimento di scienze cognitive e del Centro per lo studio della razionalità, della Hebrew University, a Gerusalemme. L'articolo illustra i risultati di una serie di esperimenti che dimostrano che frasi composte da più parole possono essere elaborate al di fuori della consapevolezza cosciente. Allo stesso modo, equazioni aritmetiche complesse, che richiedono diversi passaggi, possono essere risolte in modo non cosciente. I ricercatori hanno usato una tecnica detta Continuous Flash Suppression (CFS), che permette di presentare stimoli visivi subliminali per alcune centinaia di millisecondi, un arco di tempo abbastanza ampio da consentire ai meccanismi inconsci di operare con un certo agio. La tecnica consiste nella presentazione di uno stimolo bersaglio a un occhio e, simultaneamente, di schemi colorati in rapida successione all'altro (10 frame al secondo). Finché lo stimolo bersaglio non arriva alla coscienza, questa è saturata dagli stimoli colorati, con un effetto di soppressione che può durare anche alcuni secondi. Nella prima parte dell'esperimento, la tecnica CFS è stata usata per valutare il cosiddetto popping time, ovvero il tempo trascorso tra la presentazione sullo schermo di uno stimolo verbale (come una lettera, una parola o una frase) e il riconoscimento cosciente da parte del soggetto, a cui era richiesto di premere un tasto non appena riuscisse a coglierlo con l'occhio sinistro. Ai partecipanti sono state sottoposte frasi di tre parole, semanticamente coerenti oppure incoerenti. Nel primo caso, si trattava di associazioni verbo-complemento oggetto come “bevo il caffè” o “stiro la camicia”, nel secondo caso di frasi come “stiro il caffè”.  Questa differenza è il punto cruciale della ricerca, dal momento che l'ipotesi di partenza, poi verificata grazie ai test, era che le espressioni prive di senso avessero un popping time minore, ovvero arrivassero alla coscienza prima di quelle sensate. Il fatto che il soggetto si accorgesse che “qualcosa non andava” in una frase indicava che era elaborata inconsciamente prima di avere il tempo di arrivare alla coscienza. Uno schema sperimentale molto simile è stato usato per verificare l'elaborazione inconscia di calcoli aritmetici, ottenendo risultati analoghi.  In conclusione, questi esperimenti sembrano confermare alcune recenti ricerche, secondo le quali molte funzioni di livello superiore, tradizionalmente associate alla coscienza, possono essere svolte in modo non conscio. Come dimostrano i test condotti presso la Hebrew University, due facoltà squisitamente umane, come l'elaborazione semantica delle parole e la soluzione di equazioni aritmetiche, non richiedono sempre la coscienza.
(14 novembre 2012)





Proprietà delle potenze - quattro

Gentilissimi, come si risolve una operazione come nell'esempio seguente?

1) 12 exp 7 : 3 exp 7 =
Potremmo supporre che, applicando le opportune proprietà, si potrebbe risolvere come una divisione semplice. E così è! Semplificando i passaggi, si potrebbe suddividere la divisione in parti
2) (12:3) x (12:3) x (12:3) x (12:3) x (12:3) x (12:3) x (12:3) =
Abbiamo applicato il concetto di potenza; in seguito abbiamo applicato una proprietà particolare della divisione. A questo punto possiamo individuare al punto 2) una nuova potenza. Si ripete una moltiplicazione con fattori uguali a (12:3)
3) (12:3) exp 7 da cui
4) 4 exp 7
Possiamo così dire che "il quoziente di potenze con uguale esponente è una potenza. L'esponente è lo stesso, mentre la base è il quoziente tra le basi". In altri termini, scrivo l'exp e divido le basi.

Ed ora a Voi:
5) 24 exp 11 : 6 exp 11 =
6) 19 exp 23 : 19 exp 23 =

Buon lavoro! NR

venerdì 8 marzo 2013

Ippaso

Gentilissimi 2 A, si può morire di Matematica? Forse di Matematica propriamente no! Tuttavia esiste una leggenda, una tradizione non confermata da fonti attendibili, che mette in relazione la morte del matematico Ippaso con la divulgazione delle grandezze incommensurabili. In altri termini, dei numeri irrazionali, o radici. Secondo alcuni studiosi si tratterebbe della sezione aurea, secondo altri del rapporto tra lato e diagonale del quadrato. Come ben sapete, o dovreste sapere, la formula corretta è:
diagonale = lato per radice quadrata di 2
La leggenda vuole che alcuni pitagorici, di una fazione avversa a quella di Ippaso, avessero ipotizzato e messo in atto il suo omicidio, facendolo passare per un naufragio, o annegamento in mare. Secondo questa diceria, Ippaso sarebbe stato ucciso per aver detto che esiste la radice di 2, magari non con queste precise parole. LeggeteVi quanto riportato da Wikipedia:

Ippaso

NR

gli inizi della geometria

Gentilissimi, come si inizia la geometria?
Per rispondere dovremmo chiedere ad un certo Euclide. Nel suo libro "Elementi", ovviamente elementi di geometria, egli partiva da 23 definizioni e 5 postulati. Questi postulati non si possono dimostrare. Si devono accettare come se fossero, di per sé, evidenti a tutti.
PRIMO - per due punti passa una e una sola retta
SECONDO - la retta è una linea infinita
TERZO - è possibile tracciare una circonferenza di raggio qualsiasi e di centro qualsiasi
QUARTO - tutti gli angoli retti sono uguali tra loro
QUINTO - due linee rette parallele non si intersecano mai

Poiché questi postulati non sono dimostrabili, questo significa che, cambiandone uno solo, o alcuni, cambiamo la geometria. Stiamo cambiando le regole del gioco. Quindi cambiamo il gioco stesso.
Per analogia: se stiamo utilizzando le carte da "scala 40" e cambiamo le regole, non stiamo più giocando a scala 40.

Ai cinque postulati dobbiamo aggiungere tre enti geometrici fondamentali:
PUNTO - RETTA - PIANO
Di questi parleremo in futuro. NR

200 post

Gentilissimi, festeggiamo, oltre alla giornata della donna, e, quindi, della nonna, il duecentesimo post sul Vostro blog preferito (preferito?). Vi lascio una citazione di Euclide, mio vecchio compagno del liceo, con un debole per le vesti sopra alla caviglia.
Se Vi sembra che possa esistere, nello studio, un metodo più facile, una scorciatoia, una possibilità di sotterfugi, ecco la citazione a Voi più adatta:

"Non esiste una via banale, in geometria" (Euclide)

Buona Festa della donna e mimose in tutti i giorni dell'anno! NR

giovedì 7 marzo 2013

proprietà delle potenze - tre

Gentilissimi, continuiamo con le proprietà delle potenze.

Proviamo a risolvere la seguente motliplicazione:

a) 5 exp 7 x 6 exp 7 =
gli esponenti sono uguali. Si potrebbe applicare, in qualche modo, una proprietà simile ad uno dei precedenti post? Come "quali post?"? (Non so se avete notato la raffinatezza del doppio punto interrogativo di questa frase!). Ripassate, ordunque!
Scriviamo, in forma di sviluppo, le operazioni precedenti:
b) (5x5x5x5x5x5x5) x (6x6x6x6x6x6x6) =
Applicando la proprietà dissociativa otterremo:
c) 5x5x5x5x5x5x5x6x6x6x6x6x6x6=
applichiamo la proprietà commutativa, per ottenere
d) 5x6x5x6x5x6x5x6x5x6x5x6x5x6=
Associamo separatamente le varie moltiplicazioni. Si ottiene quanto segue:
e) (5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6) =
Se questa fosse una potenza, e così è, potremmo scriverla come "moltiplicazione ripetuta con fattori uguali". Il fattore che si ripete è (5x6). Per questo possiamo pure scrivere che
f) dal punto e)  (5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6)x(5x6) = (5x6) exp 7
g) ossia 30 exp 7

In altre parole indichiamo la proprietà detta "prodotto di potenze con esponente uguale":
Se in una moltiplicazione tutti i fattori hanno lo stesso esponente, il risultato sarà una potenza. L'esponente sarà lo stesso. La base sarà data dal prodotto tra le basi.

Ed ora tocca a Voi. Calcolate il seguente prodotto
12 exp 67 x 5 exp 67 =

Come sempre inviate le Vostre risposte come commento. NR

martedì 5 marzo 2013

proprietà delle potenze - due

Gentilissimi, continuiamo con le proprietà delle potenze. Dopo il prodotto di potenze con ugual base, ecco "il quoziente di potenze con ugual base".
Cosa significa "quoziente di potenze con base uguale"? Significa che stiamo parlando di una divisione tra potenze. In altre parole sia il dividendo sia il divisore sono potenze. Entrambe queste potenze hanno la stessa base.
Ad esempio:
1) 9exp7 : 9exp4 = "nove alla settima diviso nove alla quarta"
2) come si risolvono queste operazioni? Se con il Prodotto si sommano ("Più") gli esponenti, con la Divisione si esegue la Differenza tra gli esponenti."Col P si fa P, col D si fa D"! Per questo, allora, bisogna sottrarre i due esponenti, quindi:
9 exp (7-4) = 9 exp 3
3) Se l'esponente non è indicato, si sottintende exp 1. Come per la proprietà "prodotto di potenze con base uguale, è possibile che la divisione sia con più divisori. Con un esempio:
13 exp 11 : 13 exp 5 : 13 = 13 exp (11-5-1) = 13 exp 5
In altre parole, col "quoziente di potenze con base uguale, il risultato sarà una potenza. La base sarà uguale. L'esponente sarà la differenza tra gli esponenti".
Ed ora tocca a Voi:
4) 35 exp 21 : 35 exp 7 =
5) 89 exp 14 : 89 exp 5 : 89 exp 2 : 89 =
Un paio di esercizi al giorno tolgono l'insufficienza di torno. Torno?  La conosco! Brava studentessa, ma la scarsa attenzione a scuola non le consente di ottenere risultati sempre adeguati. Speriamo che non sia così! NR

verifica su numeri irrazionali - calcolo

Gentilissimi, dovete forse prepararVi per una verifica di calcolo sui numeri irrazionali? EccoVi una serie di esercizi di preparazione. Alcuni di essi potrebbero essere posti in verifiche di geometria. Penso, tuttavia, possano comunque servire. Risolvete e inviate soluzioni e commenti.


             8____
A)  √ 118   =
    13 __
B)   √ 0   =
      34 __
C)   √ 1   =
9 ____
D)  √ 234   =
E)           17     =
     ___
 √ 2
  ___
F)    √ 64  =
   5
4_____
G)  √ 108    =
   __         __        __
H)  √3  ·√5  ·√2  =
   __         __       ____
I)     √2  ·√5  ·√10  =

J)            7 __ =
     _____
 √ 25
   ____         __        
K)   √30  : √5  =
   __          __        
L)   √3  : √5  =
  ___________
M) √ 64 · 100 ·  9   =
  _______
N)  √ 144 :   9   =
  ____    ___    ___
O)  √ 121 + √ 36 - √ 25  =

P)     INDIVIDUA TRA QUALI INTERI E’ COMPRESA LA SEGUENTE RADICE:
  ____
√ 103
USANDO LE TAVOLE NUMERICHE, APPROSSIMA ALL’INTERO
   ______
Q)  √ 36.103  =
3__________
R)   √ 75.107.103  =
USANDO LE TAVOLE  RISOLVI CONVENIENTEMENTE
              _____
S)    √ 2,37  =
3_____
T)   √ 5,811  =

U)  RISOLVI, APPROSSIMANDO AI CENTESIMI, LA SEGUENTE ESPRESSIONE
3__        __     3__    ___
√22  + √74  - √ 11 - √ 26  =

V)  CALCOLA IL VALORE DELLA SEGUENTE PROPORZIONE CONTINUA
20 : X = X = 5

Z) CALCOLA L’AREA, EVENTUALMENTE APPROSSIMANDO AI CENTESIMI, DEL TRIANGOLO AVENTE I LATI DI LUNGHEZZA
a = 6 cm      b = 8 cm      c = 12 cm (usando la formula di Erone)

J) CALCOLA L’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO AVENTE I CATETI LUNGHI RISPETTIVAMENTE c1 = 7    c2 = 10. APPROSSIMA, USANDO LE TAVOLE, AI CENTESIMI

K) CALCOLA IL VALORE DELLA SEGUENTE PROPORZIONE CONTINUA
X : 1/3 = 4/3 : X

una : nonna = nonna : Rosa

lunedì 4 marzo 2013

tetrazione

Gentilissimi, in un precedente post abbiamo spiegato che, se la moltiplicazione è una addizione ripetuta con addendi uguali, anche l'elevamento a potenza è una moltiplicazione ripetuta con fattori uguali. Esiste una operazione che prosegue la serie di operazioni. Dopo addizione-moltiplicazione-elevamento a potenza esiste una operazione detta "tetrazione".
Ecco il relativo link su Wikipedia. La voce è incompleta e, sinceramente, poco chiara. Comunque vale la pena di leggere quanto riportato.

tetrazione

Ecco il link relativo al collegamento tra tetrazione e letteratura. Leggete pure la discussione nel blog.

Joyce e tetrazione

Sicuramente leggermente meglio (e più leggibile!). NR

proprietà delle potenze - uno

Gentilissimi, la potenza, o meglio, l'elevamento a potenza, come detto in altre occasioni, è una operazione di "moltiplicazione ripetuta con fattori uguali". Cosa significa? Facciamo un esempio: la signorina Miss Orecchini  cresce, quindi si sviluppa. Ora è in 1 A, l'anno prossimo sarà in 2 A; in seguito sarà in 3 A. Tuttavia rimane sempre se stessa, pur crescendo, ossia "sviluppandosi". Allo stesso modo, una potenza, ossia una base con esponente, si sviluppa, mantenendo sempre la base uguale.
Proviamo con i numeri: 7 alla 5, ossia "sette alla quinta", o, anche "7 exp 5", rimane una moltiplicazione con fattore 7
a) 7 exp 5 = 7x7x7x7x7
Nel caso di Miss Orecchini, potremmo dire che:
b) M exp 3 = MxMxM
Se ora aggiungiamo lo sviluppo di Miss Orecchini anche alle superiori, otterremo, evidentemente:
c) M exp 8, ossia (3+5) = (MxMxM) x (MxMxMxMxM)
In altre parole Miss Orecchini si sviluppa sia alle medie sia alle superiori. Abbiamo aggiunto "uno sviluppo", ossia un esponente. Da queste considerazioni possiamo dire che
d) M exp 3 x M exp 5 = M exp (3+5) = M exp 8

Ecco trovata la proprietà delle potenze detta "Prodotto di potenze con base uguale".
Ricapitoliamo:
Se abbiamo una moltiplicazione tra potenze, e la base è uguale, il risultato sarà una potenza.
La base di questa potenza sarà la stessa. L'esponente di questa potenza sarà dato dalla somma degli esponenti di tutti i fattori con base uguale.

RicordateVi che, se l'esponente non è indicato, considerate come se ci fosse scritto 1.

e) Se ci fossero più basi diverse, potremmo considerare singolarmente le basi uguali tra loro, quindi risolvere separatamente. Ad esempio:

12 3 x 4 7 x 4 6 x 12 9 x 12 5 x 4 11 = 12 (3+9+5) x 4 (7+6+11) = 12 17 x 4 24

Non male, non credete? Nonna Rosa



domenica 3 marzo 2013

un altro link per il teorema di Pitagora

Gentilissimi, ringrazio quanti lasciano a disposizione, in rete, materiale molto carino per le vecchie nonne che cercano di invogliare gli alunni ad appassionarsi alla matematica. Ecco un ottima spiegazione di Lidia Buccellato. Ripassate, o Voi 2 A e 3 A. Potrebbe esserVi utile per una prossima verifica, di geometria o meno. Nonna Rosa
teorema di Pitagora visualizzato

un problema Onorato

Gentilissimi, ecco un solido fantastico. Fantastico nel senso di favola. Si tratta del palazzo del potere, nel libro di Vincenzo Onorato dal titolo "Floyd Frugo". L'edizione a cui faccio riferimento è nella collana Urania speciale, n° 13.
L'incipit del capitolo "Il potere è una piramide di vetro" parla, appunto, di una piramide particolare.

"La piramide del potere si ergeva luminosa, come una stella incastrata nella terra, al centro del pianeta: tre chilometri e centoquaranta metri per lato con pari altezza."

Dal testo possiamo solo dire che la base è o un rombo, di cui non conosciamo l'altezza di base, o le diagonali, oppure un quadrato. In questo caso possiamo trovare il volume di questa piramide. Quale è il volume della piramide del potere, nei due casi, se riuscite, oppure nel caso semplice. NR

IL NUMERO GOOGLE

Gentilissimi 1 A, una tra le potenze più famose è, sicuramente, 10 alla 100, ossia il numero google. La storia, con varianti, sulla nascita di questo numero, è famosa. il nome si deve ad un ragazzino di 9 anni. Vi lascio un link doppio ed un approfondimento, tratto dalla newsletter di Scienzainrete.

Kasner

googol o google


ARTICOLO SCIENZAINRETE: MATEMATICA
Un numero più grande dell’Universo
Googol. È un numero grande, inimmaginabilmente grande. Lo si può facilmente scrivere in forma esponenziale: 10100, una maniera estremamente compatta, comoda per rappresentare i numeri molto grandi (e anche quelli molto piccoli). Con un minimo di fatica, lo si può scrivere anche in forma estesa: un “uno” seguito da cento “zeri”. Ma nella sua forma esponenziale può essere letto facilmente; in quella estesa si rischia invece di perdere il conto di quante volte bisogna usare il termine “miliardi” in “dieci miliardi di miliardi di miliardi di miliardi di …. ecc.”. In ogni caso, noi non riusciamo ad apprezzarne la dimensione. Già a livello di un googol, infatti, abbiamo a che fare con un numero che supera molte delle grandezze che descrivono l’Universo che conosciamo. La nostra Galassia, per esempio, è costituita da qualche centinaio di miliardi di stelle. In notazione esponenziale, qualche 1011 stelle. La massa del nostro Sole è 2x1033 grammi. Usandola come massa stellare media ricaviamo che la massa (visibile) della nostra Galassia è quindi circa 1045grammi. Nell’Universo vi sono alcune centinaia di miliardi di galassie, un numero paragonabile al numero di stelle contenute nella nostra Galassia. Ecco dunque che abbiamo messo insieme qualcosa come 1056-1057grammi di materia. Questa materia è costituita fondamentalmente da barioni (protoni e neutroni) legati nei nuclei degli atomi che, dall’idrogeno all’uranio (e oltre), compongono il nostro Universo. Nel calcolo della massa, gli elettroni, che pesano circa un duemillesimo dei nucleoni, possono tranquillamente essere trascurati. Ricordando infine che la massa di un protone (e di un neutrone) è 1,7 x 10-24 g, otteniamo che il numero di barioni presenti nell’Universo è dell’ordine di 1080. Un numero molto, ma molto più piccolo di un googol; per l’esattezza, un centesimo di un miliardesimo di miliardesimo di googol. Neutrini e fotoni sono in numero maggiore, ma anche il loro numero è di gran lunga più piccolo di un googol. Per superare un googol dobbiamo ricorrere al più grande contenitore che conosciamo e alla più piccola parte di esso che possiamo considerare. La lunghezza più piccola che ha un qualche senso in fisica è la lunghezza di Planck. Vale 1,6 x 10-33 centimetri. In un centimetro cubo ci sono dunque 2,5 x 1098 cubi il cui lato misura una lunghezza di Planck. Nemmeno un decimo di googol. Nell’intero Universo, che ha un raggio dell’ordine di qualche 1028cm, ci sono quindi circa 10184 cubi di Planck. Questo numero, il numero di cubi di Planck contenibili nell’Universo, è forse il più grande numero a cui possiamo associare una qualche grandezza del mondo fisico. Se rinunciamo all’associazione con una grandezza fisica e rimaniamo nell’ambito dell’astrazione matematica, conosciamo alcuni numeri primi di Mersenne che superano il googol, cominciando da 2521 – 1 (che è composto da 157 cifre) e finendo con 243.112,609 – 1 che di cifre ne ha circa 13 milioni e credo sia tuttora il più grande tra i primi di Mersenne noti (ma in futuro se ne troveranno senz’altro di ancora più grandi). Ecco che abbiamo superato un googol, ma stiamo sempre trattando con numeri piccoli se paragonati a un googolplex. Un googolplex, infatti, equivale a 10googol ed è scrivibile solamente con la notazione esponenziale. Un googol, che equivale a 10100, può essere scritto anche come 1010^2; il numero di cubi di Planck contenibili nell’Universo può dunque anche essere scritto come 1010^2,27, ma un googolplex è 1010^100! Non solo non esiste abbastanza carta o inchiostro, ma nemmeno esiste lo spazio o il tempo per poter scrivere un go-ogolplex in forma estesa. Anche scrivendone ogni cifra con caratteri così minuti da farla stare in un cubo di Planck, non basterebbe l’intero Universo che, come abbiamo visto, contiene al massimo lo spazio per scrivere le prime 10184 cifre. Ma noi di cifre ne dovremmo invece scrivere molte di più! A sua volta un googolplex, nonostante sia 1098 volte più grande di un googol, diventa un numero piccolo, ai limiti dell’irrilevanza, se paragonato a quello che è considerato come il più grande numero mai utilizzato in una dimostrazione matematica e noto come G, il numero di Graham. Questo numero, di cui non conosciamo il numero di cifre, non può essere facilmente scritto nemmeno utilizzando la notazione espo-nenziale ed è necessario ricorrere a nuove notazioni quali la tetrazione e successive iterazioni esponenziali che continuano la progressione: somma – moltiplicazione – elevamento a potenza – tetrazione e così via. La tetrazione è indicata da due frecce rivolte verso l’alto e comprese tra i fattori. Le iterazioni successive sono indicate da un numero crescente di frecce. Quindi 3↑3 = 33 = 3x3x3. Poi 3↑↑3 = 3↑(3↑3) (e cioè 33^3) e 3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3) – che equivale a (33^3)^(33^3)^(33^3). Finalmente 3↑↑↑↑3 = 3↑↑↑(3↑↑↑3). Questo è il punto di partenza per arrivare al numero di Graham e lo chiameremo g1. Il passo 2 sarà g2 = 3↑↑…↑↑3 dove il numero di frecce è uguale a g1. Il passo successivo sarà g3 = 3↑↑↑↑…↑↑↑↑3 dove stavolta il numero di frecce è uguale a g2. E così via. Continuando la progressione sino al sessantaquattresimo livello si arriva a g64 = G, il numero di Graham, un numero chiaramente inimmaginabile. Ovviamente è possibile, addirittura facile, concepire operazioni che portino a numeri ancora più grandi: si va dal semplice +1 a un’iterazione esponenziale di termini ancora superiore a quella che definisce il numero di Graham (g65), oppure composta da fattori maggiori (usando ad esempio il 4 al posto del 3). Ma non è questo il punto. Il punto è trovare numeri che abbiano un’utilità, un significato particolare, numeri che risultino da una dimostrazione, da un qualche processo logico mentale, o che non siano, come i numeri primi, esprimibili in termini di numeri più piccoli. In quest’ottica, sia un googol che un googolplex sono semplicemente due potenze di 10 cui è stato dato un nome che si è ben radicato e compare in dizionari, enciclopedie, testi e trattati. Il numero di Graham, invece, è una limitazione superiore (ma non necessariamente la più piccola) del “più piccolo numero di dimensioni necessarie” per avere alcune proprietà dell’ipercubo (una forma geometrica regolare con quattro o più dimensioni spaziali). Ecco dunque che gli è  stato riconosciuto lo status di numero più grande tra quelli che vantano un qualchesignificato. Chiudo con una curiosità riguardo al numero di Graham. Non si conoscono le sue prime cifre, ed è ragionevole pensare che non si conosceranno mai, visto che esse vengono calcolate dal fondo (ma, attenzione, non vorrei certo incappare negli stessi errori di supponenza di cui ho scritto recentemente, quindi è sempre meglio “mai dire mai”). Si conoscono tuttavia le ultime cifre (mi risulta che siano state calcolate le ultime 500 e il loro numero è in aumento). Ebbene, G, che altro non è che una sterminata sequenza di moltiplicazioni del numero 3, finisce per 7! Infine, per ridimensionare anche il numero di Graham, ricordiamo che le sue pur tante cifre sono un’inezia se paragonate a quelle, infinite, che descrivono il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro, o anche il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e il suo lato (anche se adesso parliamo di cifre “dopo la virgola”, che quindi non variano sensibilmente la grandezza del numero). Ma anche quando parliamo di infiniti bisogna ricordare che vi sono quelli più grandi e quelli più piccoli…
Tratto da: Le Stelle n. 107, Giugno 2012
(8 ottobre 2012)



sabato 2 marzo 2013

equazioni - secondo principio

Gentilissimi 3 A, continuiamo con il secondo principio delle equazioni. In modo poco matematico, possiamo enunciarlo come segue:
"Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per uno stesso numero, monomio o polinomio diverso da zero, otteniamo una equazione equivalente a quella data". Non dobbiamo moltiplicare o dividere per l'incognita, oppure per un monomio o polinomio che la contenga, in quanto si andrebbe a modificare il grado dell'equazione e, di conseguenza, le radici, o soluzioni della stessa equazione.
Come sempre, facciamo un esempio:
1) - 5/2 x +3/2 - x/2 = 3/2 x + 5/2 - 2/2 x
ovviamente si tratta di un esempio banale, in quanto, per niente per caso, tutti i termini di questa equazione hanno denominatore due. Applicando il secondo principio, potremmo moltiplicare per due tutti i termini dell'equazione, ottenendo
2) -5 x + 3 - x = 3 x + 5 - 2 x
a questo punto abbiamo una equazione equivalente a quella data. Possiamo risolvere come di consueto
3) applichiamo il primo principio
- 5 x - x - 3 x + 2 x = - 3 + 5
4) -7 x = + 2
dividendo per lo stesso numero (-7) si ottiene
5) -7 x: (-7)  = (+2) : (-7) semplifichiamo
6) x = - 2 /7 ossia la radice dell'equazione

Ed ora tocca a Voi. Risolvete e spedite la soluzione

- 3/4 x + 1/6 - 5/4 x = 5/12 - x + 1/3

Nonna Rosa