martedì 30 aprile 2013

una approssimazione della radice quadrata di 2

Gentilissimi, solitamente i numeri irrazionali, come già riportato in un precedente post, sono attribuiti ad Ippaso e alla scuola pitagorica. Gli antichi greci parlavano di numeri "alogici", poiché, come ben sapete, i numeri irrazionali non sono riconducibili a rapporti o frazioni.
Uno studioso ha scoperto che anche nella Mesopotamia si conoscevano i numeri irrazionali. La scoperta è stata fatta analizzando una tavoletta in cuneiforme. Su essa erano riportati i seguenti numeri (ovviamente in cuneiforme):
1   24    51    10

Poiché il sistema di numerazione mesopotamico era sessagesimale, e i numeri venivano scritti come noi scriviamo una parola, ossia da sinistra a destra, si può intendere che:
a) 1 corrisponde ad una frazione con denominatore 60 exp 0, ossia 1.
b) Per questo il numero "vero" è = 1/1
c) 24 corrisponde ad una frazione con denominatore 60 exp 1, ossia 60.
d) Per questo il numero "vero" è = 24/60
e) 51 corrisponde ad una frazione con denominatore 60 exp 2, ossia 60x60.
f) Per questo il numero "vero" è = 51/60x60 = 51/3600
g) 10 corrisponde ad una frazione con denominatore 60 exp 3,, ossia 60x60x60.
h) Per questo il numero "vero" è = 10/60x60x60, ossia 10/216 000
i) Se ora calcoliamo il valore decimale delle frazioni indicate ai punti b), d), f), h), otterremo
l) 1        0,4         0,01416       0,00004629
m) sommando i numeri così trovati otteniamo 1+0,4+0,01416 +0,00004629 = 1,414212962
n) Se ora cerchiamo, con l'ausilio delle tavole numeriche, o di una calcolatrice, il valore della radice quadrata di 2 otteniamo 1,414213562, con una approssimazione eccellente, almeno per quei tempi.

1 - 24 - 51 - 10. RicordateVi dei popoli mesopotamici (e un poco pure di Ippaso!). NR

venerdì 26 aprile 2013

il numero perfetto

Gentilissimi, se chiedete ad un alunno qualsiasi quale sia il numero "perfetto" risponderà 6.
Ora, in Italia, i voti sono espressi, nelle scuole secondarie, ma non solo, in decimi. A rigore di Matematica l'alunno dovrebbe dire: << 6/10>>.
Accettiamo come risposta pure il numeratore.
In che senso 6 è un numero perfetto?
In Matematica i numeri perfetti sono quelli che, scomposti nei loro divisori, ovviamente escluso il numero di partenza, sono pari alla somma degli stessi divisori.
Osserviamo meglio: quali sono i divisori di 6? In altre parole, per quali numeri naturali è valida la regola che, messo 6 come dividendo, si ha un quoto, ossia una "divisione esatta" senza resto?
Se consideriamo tale quesito in altro modo, potremmo dire: quali numeri hanno il 6 come  multiplo, ossia, in quali tabelline, escludendo quella del 6, si trova il sei?
I divisori di 6 sono 1;2;3. Questo fatto si scrive nel seguente modo:

D(6) = [(1);2;3;(6)]

Il numero stesso, come pure, a volte, il numero 1, sono considerati "divisori impropri" di 6.
Se sommiamo questi divisori (1;2;3), otterremo 1+2+3 = 6
Tutti i numeri che corrispondono a questa descrizione, e, quindi, con questa caratteristica sono detti numeri perfetti. Cercate, da soli, e senza ausilio di libri, genitori, Internet ed "aiutini" vari, un altro "numero perfetto". E' un numero inferiore a 50. Potete usare la calcolatrice.
Per ora Vi dico che anche 496 è un numero perfetto, come pure 8128, e molti altri.
Il numero 6 è pure un numero in cui il prodotto dei suoi divisori, se stesso escluso, è il numero di partenza.
Infatti 1x2x3 = 6.

Buona ricerca, dalla Nonna con furore.

martedì 23 aprile 2013

come trovare l'area del cerchio

Gentilissimi, oramai è abitudine dire che, per calcolare l'area del cerchio bisogna moltiplicare il quadrato del raggio per 3,14.
Tale formula è corretta SOLO nel caso in cui avessimo bisogno di un'area approssimata.
E' possibile, tuttavia, sempre approssimando, trovare l'area del cerchio usando una corda.
Il metodo era noto già agli antichi egizi. Si prende una corda, di lunghezza sufficiente per trovare il diametro, o corda massima. Si annodano i punti estremi del diametro così trovato.
Si piegano gli estremi verso il centro, contemporaneamente, sino a quando suddivido la corda in tre parti uguali tra loro. Annodo gli estremi di una parte. Suddivido in tre parti quest'ultimo pezzo di corda.
Ho ottenuto, se sono stata attenta e precisa, un nono del diametro.
Tolgo questa parte del diametro, ottenendo un pezzo di corda che corrisponde a 8/9 del diametro.
Chiamo questa parte di corda, corrispondente, appunto, a 8/9 del diametro, "il tutto meno il nono".
Costruisco un quadrato avente per lato "il tutto meno il nono". L'area di questo quadrato è, approssimata, equivalente all'area del cerchio.
Ricordo, inoltre che:
Area cerchio = r x r x π unità quadrate

Nonna Rosa da Tebe

lunedì 22 aprile 2013

un problema di nuoto "estivo"

Gentilissimi, oramai è tradizione, sportiva, che anche gli atleti uomini si depilino le gambe. Sembra che, tra atleti depilati  in quel giorno e atleti non depilati da un mese, a parità di prestazione agonistica, ci sia un abbassamento dei tempi del 9% su gare di nuoto dai 400 m in poi. La medesima cosa, secondo i teorici, dovrebbe accadere per noi donne.
Considerate, inoltre, il fatto che, mediamente, sulle gambe i peli crescono mensilmente di 0,635 cm ogni 30 giorni. La campionessa dei 1500 m rana in Europa ha ottenuto il tempo di 5.02.12, avendo i peli delle gambe di lunghezza 0,314. Quale sarebbe stato il tempo impiegato se si fosse depilata nel giorno del record?

Usate, oltre alle proporzioni, una buona calcolatrice. NR

matematica e ricordi

Gentilissimi, dopo un viaggio in Eritrea di alcuni giorni, sono ritornata alla casetta.
Mi scuso per la assenza, in questo periodo, di post sul Vostro blog preferito, ma memoria personale, o autobiografica, e matematica non si conciliano.
Ecco, a proposito, una recente ricerca pubblicata sulla newsletter Le Scienze.
Per Voi un suggerimento: mentre fate i compiti o ripassate Matematica, non cercate di ricordare la Vostra storia personale. Dalla lettura dell'articolo seguente scoprirete perché. NR


neuroscienze memoria matematica
Matematica e ricordi non vanno d'accordo
La corteccia posteromediale, un'importante struttura cerebrale che partecipa alla memoria autobiografica, viene disattivata quando si è impegnati in un compito matematico. Questa scoperta aiuta a capire perché riflettere sul proprio passato e, allo stesso tempo, cercare di risolvere un problema sono due attività inconciliabili. Per richiamare i ricordi, infatti, i circuiti dell'attenzione devono dirigere la loro attività verso l'interno, mentre, per risolvere un problema di matematica, devono dirigersi verso l'esterno, ovvero in due direzioni opposte (red)
Matematica e ricordi non vanno d’accordo. O almeno, così è per una struttura cerebrale detta corteccia posteromediale (PMC), una regione che ha un ruolo fondamentale nelle attività introspettive e che viene fortemente attivata quando si cerca di ricordare un episodio della propria vita, ma è disattivata, altrettanto fortemente, quando si è impegnati a risolvere un problema di matematica. A scoprirlo è stato un gruppo di ricercatori della Stanford University School of Medicine, con uno studio pubblicato sui “Proceedings of the National Academy of Sciences”.  Lo studio è anche uno dei più accurati, condotti fino a oggi, su questa struttura, situata in prossimità della congiunzione fra i due emisferi: "Questa regione del cervello è ben collegata con molte altre che sono importanti per le funzioni cognitive superiori”, spiega Josef Parvizi, che ha diretto lo studio, “ma è molto difficile da raggiungere. Situata così in profondità nel cervello che i metodi elettrofisiologici usati più comunemente non possono accedervi.". Gli scienziati hanno esaminato alcuni pazienti affetti da gravi forme di epilessia, che non rispondevano alle cure farmacologiche ed erano, quindi, candidati a una terapia chirurgica. In questi soggetti il focolaio all’origine delle crisi convulsive si trovava proprio in prossimità della linea mediana del cervello. L’impianto temporaneo di elettrodi per il monitoraggio dell’area, necessario per una delimitazione più precisa del focolaio, ha così offerto l’occasione per studiare da vicino anche l’attività della PMC.


                Localizzazione della corteccia posteromediale (Cortesia Brett L. Foster et al./PNAS)
I ricercatori hanno fornito ai pazienti un computer portatile, attraverso cui venivano proposti alcuni semplici compiti. In particolare, il portatile proponeva una serie di affermazioni, che i soggetti dovevano classificare come vere o false, appartenenti a quattro diverse categorie. Tre di queste facevano riferimento al paziente, con diversi gradi di specificità. Le frasi di una di queste tre categorie si riferivano, in modo specifico, alla cosiddetta "memoria autobiografica episodica" (per esempio: "Ieri ho bevuto il caffè"); in un’altra categoria ricadevano affermazioni più generiche ("Mangio molta frutta") e, infine, in una terza c'erano affermazioni generali più astratte, che coinvolgevano un processo di autovalutazione ("Io sono onesto").  Alla quarta categoria appartenevano affermazioni che non richiedono un'introspezione, ma un’attenzione rivolta all’esterno, costituite da semplici espressioni aritmetiche (“67 + 6 = 75, vero o falso?”). I dati registrati dai ricercatori hanno mostrato una forte attivazione della PMC nel processo di richiamo delle proprie esperienze passate, un’attività relativamente ridotta nella valutazione delle affermazioni di tipo meno narrativo ("Mangio molta frutta") e praticamente nessuna attività per le affermazioni autovalutative.  Secondo gli autori dello studio, questo suggerisce che la PMC non sia il "centro della consapevolezza di sé", come è stato prospettato da altri scienziati, ma è impegnata in modo specifico nella costruzione di scene narrative autobiografiche, come avviene nel ricordo o l'immaginazione. La cosa più singolare che hanno rilevato è però che tutti i circuiti monitorati che si attivavano quando veniva attivata la memoria episodica non solo apparivano silenti durante l’esecuzione del compito matematico, ma erano addirittura attivamente silenziati: "Quanto più un circuito è attivato durante il richiamo autobiografico, tanto più è inibito durante l'analisi matematica. E' praticamente impossibile fare entrambe le cose contemporaneamente", ha detto Parvizi, osservando che i due compiti impongono ai circuiti dell'attenzione di dirigersi in direzioni opposte: verso l'interno, per evocare un ricordo, e verso l'esterno, per risolvere il quesito matematico.
(04 settembre 2012)

giovedì 11 aprile 2013

un altro poligono particolare

Gentilissimi, il pittore cubista Van Den Foss, di fama internazionale, vuole passare all'astrattismo. Deve dipingere un nuovo quadro, astratto, appunto, partendo da un'opera di ispirazione cubista. Si sa che gli artisti sono sempre squattrinati. L'artista ridipinge la stessa tela già usata. Al termine del lavoro ha ottenuto una figura poligonale molto strana.
Si tratta di un piccolo parallelogramma con base doppia dell'altezza. Sul lato obliquo a destra dell'osservatore si trova un trapezio rettangolo con il lato obliquo che risulta essere il prolungamento dell'altezza del parallelogramma e l'altezza del trapezio perpendicolare al lato obliquo del parallelogramma. L'altro lato obliquo del parallelogramma risulta essere un lato obliquo di un altro trapezio rettangolo, in cui la base minore è il prolungamento dell'altezza del parallelogramma.
Sapete che la base del parallelogramma tocca il bordo sinistro della tela; le base del trapezio rettangolo di sinistra toccano il bordo alto della tela; l'altezza del trapezio rettangolo a destra  tocca il lato destro della tela; la base maggiore dello stesso trapezio tocca il lato in basso della tela.
Sapete inoltre che le altezze del parallelogramma sono quelle relative alla base e che il parallelogramma è posto in orizzontale, rispetto al bordo inferiore della tela.
Van Den Foss, inoltre non ha colorato nulla, a parte il poligono suddetto.
Quale sarà il rapporto tra area colorata e tela grezza?

Con tutti i lati obliqui presenti mi sento un poco storta pure io, ossia la Vostra Nonna Rosa.

martedì 9 aprile 2013

un poligono particolare

Gentilissimi, sapreste calcolare l'area del poligono qui sotto descritto?

Il pentagono con vertici ABCDE  è costituito da un triangolo rettangolo AED la cui ipotenusa è coincidente con la base maggiore di un trapezio rettangolo ABCD. Il vertice E del triangolo e la base minore del trapezio sono disposti da parti opposte rispetto alla ipotenusa AD. Il lato CD misura 36 cm. L'area del triangolo rettangolo è 108 cmq. I cateti del triangolo sono in rapporto 3 : 4. La base minore del trapezio è pari a metà della diagonale maggiore del trapezio stesso.

Leggete attentamente il testo del problema. Provate a risolverlo. Rispondete, inoltre, alla domanda:
Quanto misura il lato obliquo del trapezio? Se riuscite a trovarne la misura, potreste trovare pure il perimetro. Quanto misura il perimetro del pentagono?

Buon lavoro! NR

lunedì 8 aprile 2013

per una verifica o test di geometria

Gentilissimi, come ci si prepara per una verifica di Geometria, magari in classe seconda?
I consigli iniziali sono sempre gli stessi che, da tempo, leggete sul Vostro blog:
* prestare attenzione in classe
* provare a "prendere appunti"
* riprendere gli appunti con costanza
* studiare poco per volta, per richiedere eventuali chiarimenti alla prof.ssa
* ripassare tutti gli argomenti di verifica
* preparare il materiale per la verifica
* leggere attentamente le consegne
* non distrarsi durante l'esecuzione di quanto richiesto

Ed ora quanto serve, in particolare, per Geometria:
* leggere "bene" la consegna (certo, ancora!)
* rappresentare quanto richiesto
* indicare vertici e lati, magari, se serve, con simboli opportuni
* scrivere le formule utili e/o richieste
* motivare le scelte compiute o i procedimenti adottati, spiegando in modo opportuno

Facciamo un esempio:
"Indica come trovare l'Area di un parallelogramma con diagonale perpendicolare al lato obliquo, conoscendo base e lato obliquo"

1) LEGGETE LA CONSEGNA (è tutto chiaro? Sapete cos'è un parallelogramma? E dove si trova l'altezza?)
2) Disegnate il parallelogramma (Sapete COME si rappresenta? E l'altezza relativa alla base?)
3) Chiamate i vertici ABCD, scegliendo se indicarli in senso orario (scelta solitamente indicata) o antiorario. Tracciate l'altezza. Tracciate la diagonale. Indicate con b la base, con h l'altezza, con l.ob. il lato obliquo e con d la diagonale
4) Osservate attentamente la Vostra figura. (Cosa notate? Quali teoremi o figure potreste utilizzare per rispondere alla richiesta?)
5) Se non riuscite a trovare nulla di valido, suddividete la figura in triangoli e, se serve, in triangoli rettangoli. (Se partite a denominare i vertici dall'angolo in alto a sinistra, dal punto A si può tracciare l'altezza AH, quindi ...)
6) Scrivete la formula da utilizzare: A = bxh (potete notare che non avete h, quindi ... Vi serve altro)
7) Spiego e motivo la mia scelta (scrivete SOLO se siete certi che la motivazione sia corretta e la spiegazione esatta)

Ora risolviamo:
Notate il triangolo con vertici ACD? E il triangolo AHD? Sono triangoli rettangoli, quindi è possibile applicare il teorema di Pitagora o quello di Euclide. Riuscite a capire come?
Proviamo a considerare il triangolo ACD: la d è un cateto, quindi applicando il teorema di Pitagora posso trovare d:
d = radice quadrata di bxb - l.ob.x l.ob.
A questo punto potrei applicare la formula che mette in relazione i tre lati di un triangolo rettangolo e l'altezza relativa all'ipotenusa, ossia l'altezza del parallelogramma:
hi = c1xc2 : i, in cui c2, è d
possiamo così scrivere
A = b x h, ossia b x (l.ob. x d : b), ossia, compiutamente, per sostituzione
A = b x [l.ob. x (radice quadrata di bxb - l.ob.x l.ob.) : b], da cui, semplificando
A = l.ob. x (radice quadrata di bxb - l.ob.x l.ob.)

Difficile? Si tratta solo di rimanere concentrati sino alla corretta soluzione. Esistono altre soluzioni e procedimenti validi. Provate da soli con la seguente richiesta. Ragionamenti matematici di questo tipo, in alcune occasioni, sono detti "ragionamenti concatenati". In essi la soluzione finale si trova scomponendo in parti più semplici e in richieste maggiormente accessibili la soluzione. Ogni soluzione parziale contribuisce a giungere alla soluzione finale.

Provate da soli, magari inviando per commento le Vostre risposte:
"Indicate come trovare il perimetro di un rombo in cui una diagonale è doppia dell'altra, conoscendo l'Area".
Buon lavoro! Nonna Rosa, il ritorno dei morti viventi.

sabato 6 aprile 2013

il tunnel (di) Eupalino

Gentilissimi, ecco, per Voi 3 A, una equazione con soluzione (da cercare sul web, se credete!).

Se il tunnel (di) Eupalino fosse accorciato di un quarto, potremmo dividere in 37 parti uguali ciò che resta del tunnel. Ogni parte misurerebbe 21 metri. Quanto misura il tunnel (di) Eupalino?

Vista la Vostra straordinaria esperienza di web, Vi lascio la possibilità di inviarmi NON la soluzione (o radice), ma TUTTA l'equazione, radice compresa e verifica compresa.
Una nonna "samoese" e non samoana. NR

una data storica

Gentilissimi, dopo molto tempo possiamo dire: "Il ritorno della nonna".
La vecchiaia, le sollecitazioni della vita e alcuni ("alcuni"?) impegni, mi hanno distolto dal Vostro blog.
Per riconciliarmi con Voi, e con la vita, Vi lascio una semplice "Caccia al tesoro" di natura matematica:
cosa accadde il 23 giugno del 1993?
Forza! Si tratta di Matematica. La data è sufficientemente recente, quantomeno per me e, quasi sicuramente, non per Voi! In un certo senso ha a che vedere con il teorema di Pitagora. In un certo senso. Ha pure a che vedere con le potenze. Ma forse ho già dato troppi indizi.
"Ecco! Penso di dovermi fermare qui!".
Nonna Rosa (la frase finale non è, ovviamente, mia!)

martedì 2 aprile 2013

ESERCIZI DI PREPARAZIONE PER UNA VERIFICA DI CALCOLO SULLE POTENZE

Gentilissimi, state preparandovi per una futura verifica di calcolo sulle potenze? Se proprio volete essere certi della Vostra abilità, provate a risolvere gli esercizi che seguono. Se lo riterrete utile, inviate commenti e soluzioni. Sappiate solo che gli esercizi che seguono NON sono tutti gli esercizi possibili sulle potenze. Se avete dubbi, chiedete pure:


A)   SVILUPPA 65
B)    SCRIVI IN FORMA DI POTENZA       4X4X4X4X4X4X4X4X4=
C)    SCRIVI IN FORMA DI POTENZA       3X11X11X11X3X3X11X3X11=

D)   1541  =
E)    5490  =
F)    156    =
G)   039   =
H)   25   =

I)      UTILIZZANDO IL METODO CHE DESIDERI RISOLVI 352

J)     107  =
K)   15 19  X 2 19  =
L)    17 9 X  177    =
M)  1207  : 127   =
N)   5713   :    57 4   =
O)   383   :    38 9   =
P)    (237 ) 5   =
Q)   USANDO LE TAVOLE TROVA A QUALE POTENZA CORRISPONDE IL NUMERO 50 653
R)    USANDO LE TAVOLE TROVA A QUALE POTENZA CORRISPONDE IL NUMERO 43 681
S)    USANDO LE TAVOLE TROVA 5662   =
T)    USANDO LE TAVOLE TROVA 293   =
U)   [(1692 ) 4 X  1697 ] 2 :  [(1698 ) 4 :  16925 ] 3   =
V) [(92 ) 4 ] 5  

Nonna Rosa, una vera potenza! Soprattutto una nonna moooolto modesta. 

preparazione verifica geometria analitica - parte uno

Gentilissimi 3 A,
dopo la pausa e la Pasqua, eccoVi di nuovo vispi e teresi, pronti per una eventuale verifica di geometria analitica. Ci vogliano scusare le nonne e i nonni dell'ordine superiore per la semplicità di talune richieste presenti in essa. Tuttavia si tratta di un semplice approccio alla geometria analitica, la cui sistematizzazione (bella parola, non credete?) sarà completo compito di altri.
Questi sono solo esempi di richieste possibili. L'elenco non vuole essere esaustivo. E' pure possibile suddividere tale verifica in due parti. La presente, nel caso, dovrebbe essere la parte "semplice". Provate a rappresentare correttamente quanto richiesto. Se riuscite, e se lo ritenete opportuno, inviate pure commenti al Vostro blog preferito (e alla Vostra nonna preferita, speriamo!). NR


A)  RAPPRESENTA IL SEGMENTO AB, CON A(-2;+5) E B(+3;-4)
B)   RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO IL POLIGONO CON VERTICI A(+1;-1), B(+1;+3), C(+5;+7) E D(+5;-2). INDICA DI QUALE POLIGONO SI TRATTA. MOTIVA LA TUA RISPOSTA. RAPPRESENTANE LE DIAGONALI.
C)   RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO LA SEGUENTE FUNZIONE
y=-x2  
DI CHE FUNZIONE SI TRATTA?
D)  RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO LA SEGUENTE FUNZIONE
y=x – 2
DI CHE FUNZIONE SI TRATTA?
E)   RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO LA SEGUENTE DISTRIBUZIONE DI FREQUENZA. ESSA E’ RELATIVA AI VOTI OTTENUTI DA UNA CLASSE DI 3° MEDIA IN UNA VERIFICA DI INGLESE:   8-9-5-7-7-6-8-7-7-6-5-4-6-6-7-10-8-7-7-6-9. QUALE CURVA SI OTTIENE?
F)   RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO UN PARALLELOGRAMMA POSTO IN TUTTI E QUATTRO I QUADRANTI. INDICA LE COORDINATE DEI SUOI VERTICI. RAPPRESENTANE L’ALTEZZA E INDICANE LA MISURA.
G)  RAPPRESENTA SU GRAFICO LA SEGUENTE SITUAZIONE: GIOVANNI PARTE DA CASA ALLE ORE 7. SI RECA AL LAVORO PER LE 8. LA CITTA’ IN CUI LAVORA DISTA DA CASA 50 KM. DALLE 8 ALLE 12 LAVORA IN UFFICIO. ALLE 12 SI RECA IN TRATTORIA. LA TRATTORIA DISTA 60 KM DA CASA. ALLE 14 RIENTRA AL LAVORO. TERMINA ALLE ORE 18 E, IN SEGUITO RITORNA A CASA.
H)  RAPPRESENTA UN GRAFICO A “SIGMA”
I)     RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO LA FUNZIONE SEGUENTE
x = -4
J)     RAPPRESENTA SU PIANO CARTESIANO UNA FUNZIONE LINEARE CON 
q = +5