mercoledì 31 luglio 2013

nuove scoperte per i numeri primi

Gentilissimi,
la newsletter Scienzainrete, a cui Vi invito ad iscriverVi, aiutati dai genitori, ha recentemente proposto un interessante articolo su due congetture relative ai numeri primi. Come sempre, o quasi, è stato di poco modificato, per renderlo maggiormente leggibile. Buona lettura. Nonna Rosa

ARTICOLO SCIENZAINRETE: MATEMATICA
Numeri primi e congetture, svolta verso la risoluzione 
Due studi, resi pubblici negli ultimi giorni, contribuiscono a vedere più vicina la risoluzione di alcuni dei più grandi interrogativi irrisolti della matematica: le congetture “debole di Goldbach” e dei “Numeri primi gemelli”. Per capire l’importanza di queste scoperte è necessario ricordare le basi di queste teorie, che da centinaia di anni arrovellano i matematici: i numeri primi sono, per definizione, quelli che si possono dividere solo per l’unità e per sé stessi (1,2,3,5,7,11,13, tra quelli all’inizio della lista infinita di numeri, che vengono ricordati più facilmente...). Nel 1700, il matematico Christian Goldbach propose la sua congettura, secondo cui, così come espressa nella riformulazione proposta da Eulero, ogni numero pari maggiore di 2 si può esprimere con la somma di due numeri primi. A questa teoria si lega la cosiddetta congettura debole, o problema dei tre primi, riferita ai numeri dispari maggiori di 5, esprimibili come la somma di tre numeri primi. Un esempio? 7 (=2+2+3) o 91 (=7+41+43). Congetture che, in quanto tali, risultano vere, senza il vantaggio, però, di una dimostrazione. Ed ecco quindi il primo risultato che fa rumore, grazie allo studio di Harald Helfgott, della École Normale Supérieure, pubblicato su arXiv. Già Terence Tao, della UCLA, si era avvicinato, lo scorso anno, alla dimostrazione della congettura debole, mostrando che i numeri dispari possono essere riscritti come somma di cinque primi al massimo. Helfgott è riuscito a raffinare questi risultati, abbassando la soglia fino a tre. Il pre-print, firmato da Helfgott, però non è sufficiente, per il momento, a dimostrare che si possa applicare la sua scoperta a tutti i numeri (infiniti). Yitang Zhang, matematico dell’Università del New Hampshire, è l’autore, invece, della seconda impresa. I risultati del suo lavoro, apparsi su Nature, rappresentano la base di partenza per la risoluzione della congettura dei numeri primi gemelli, vale a dire quelle coppie di numeri primi separati da un solo numero pari (3 e 5; 11 e 13; ad esempio). L’interrogativo che nasce su questa particolare sequenza di numeri, da cui la congettura, proposta per la prima volta da Euclide nel quarto secolo a.c., è se le coppie di numeri primi la cui distanza sia solo due sia infinita o meno. Zhang dimostra che si può stabilire un limite a questa distanza, per assicurarsi la serie infinita di numeri primi gemelli, sebbene di molto superiore al 2 della congettura originale: ci sono infinite coppie di numeri che distano tra loro per un valore inferiore a 70 milioni. Questo può sembrare un dato enormemente distante dalla risoluzione del problema, ma per i matematici è un risultato eccezionale, perché dimostra che la distanza tra i numeri primi non può, quantomeno, crescere in modo incontrollato e indefinibile; rappresenta, inoltre, un primo passo per poter raffinare il calcolo e abbassare questo limite, presumibilmente sempre più vicino al valore di 2. Entrambi i risultati, sebbene non chiudano definitivamente le due questioni, suscitano grande interesse ed eccitazione nel campo della matematica, per possibili nuovi e inattesi risultati che possono arrivare seguendo i percorsi tracciati da Helfghott e Zhang. (24 maggio 2013)

martedì 30 luglio 2013

lezioni individuali di Matematica?

Gentilissimi,
ecco un articolo che mostra come le lezioni individuali, per quanto riguarda l'apprendimento della Matematica, non siano efficaci per tutti gli studenti. Dalla lettura potrete comprendere il ruolo della memoria nello studio della Vostra materia preferita (preferita?). L'articolo è tratto, e modificato parzialmente, dalla newsletter Le Scienze. Buona lettura. La Nonna
(A proposito: qualcuno conosce il termine "eutorinale"?)

neuroscienze matematica bambini apprendimento
Il bernoccolo della matematica? Per i bambini è nell'ippocampo 
Uno studio ha dimostrato che i bambini con un maggior volume dell'ippocampo, la regione cerebrale che sovraintende ai processi di memoria, hanno maggiori probabilità di migliorare le capacità matematiche dopo otto settimane di lezioni individuali. Il risultato mette in discussione altri metodi di valutazione del talento dei bambini per l'aritmetica, come il quoziente d'intelligenza o i test di capacità di calcolo e di lettura, ponendo le basi per nuovi programmi didattici dedicati ai più piccoli (red) 
La misura del volume e delle connessioni funzionali dell'ippocampo consente di prevedere i miglioramenti delle capacità matematiche nei bambini in età scolare: è quanto ha concluso uno studio, pubblicato sulla rivista “Proceedings of the National Academy of Sciences”, a firma di Kaustubh Supekara, del dipartimento di Psichiatria e Scienze comportamentali della Stanford University. I risultati contribuiscono a spiegare perché alcuni bambini sembrano beneficiare più di altri di lezioni intensive e individualizzate, offrendo un utile strumento per pianificare le attività e didattiche nel campo della matematica. Per la riuscita in molti campi professionali sono indispensabili solide competenze matematiche, competenze che si costruiscono in un lungo percorso di studi che comincia con una buona dimestichezza con l'aritmetica a scuola. Il problema di come favorire l'apprendimento delle conoscenze matematiche di base è particolarmente sentito negli Stati Uniti, dove, negli ultimi due decenni, sono stati avviati alcuni programmi sperimentali sia nelle classi sia in lezioni individuali. Lezioni individuali di matematica: i programmi didattici che hanno usato questo approccio hanno dato risultati contrastanti. Queste ultime, in particolare, hanno avuto esiti contrastanti: alcuni bambini beneficiavano del programma intensivo, dimostrando di apprendere molto velocemente, mentre il miglioramento di altri era proporzionato allo sforzo. Inoltre, non è emerso alcun metodo affidabile per prevedere chi era in grado di ottenere i migliori risultati. Supekara e colleghi hanno riconsiderato il problema, coinvolgendo 24 bambini, di età tra gli otto e i nove anni e con diverse abilità matematiche, in una nuova sperimentazione di otto settimane. Prima di iniziare il programma, i bambini sono stati sottoposti a scansioni in risonanza magnetica funzionale, alla misurazione del quoziente d'intelligenza (QI) e a test per la valutazione delle abilità di calcolo e di lettura, in modo da individuare quale tra questi parametri potesse rappresentare un fattore predittivo per l'efficacia didattica delle lezioni. E' così emerso che gli esiti del programma di apprendimento possono essere previsti misurando la materia grigia dell'ippocampo, in cui hanno sede i processi di memoria: i bambini in cui il volume di questa regione era maggiore prima dell'addestramento erano quelli che ottenevano i migliori risultati nei test matematici al termine delle otto settimane. Il dato è in buon accordo con studi recenti che hanno evidenziato come, nelle fasi critiche dello sviluppo delle capacità matematiche, i bambini si basino sui processi di memoria che fanno capo all'ippocampo. Per contro, nei soggetti affetti da discalculia, un disturbo che riguarda specificamente l'apprendimento del sistema dei numeri, sono stati riscontrati deficit strutturali proprio nell'ippocampo, oltre che nell'adiacente corteccia entorinale. Il secondo fattore predittivo dell'apprendimento, riscontrato con la risonanza magnetica, è stato il numero di connessioni funzionali della regione ippocampale con la corteccia prefrontale, in particolare con le porzioni dorsolaterale e ventrolaterale, e con i gangli della base, due nuclei situati alla base dell'encefalo in entrambi gli emisferi. Complessivamente, sostengono gli autori, il coinvolgimento delle diverse aree cerebrali documenta l'attivazione di diversi processi di memoria, nell'acquisizione delle competenze matematiche di base: l'ippocampo è sede dei processi di memoria dichiarativa, riguardante i concetti appresi; la corteccia
prefrontale è responsabile di un "controllo cognitivo", in grado di facilitare la codifica e il recupero dei ricordi a lungo termine; infine i gangli della base sovraintendono ai processi di memoria procedurale, che riguardano l'apprendimento delle regole. In conclusione, lo studio dimostra che le valutazioni dirette della struttura e della funzionalità di specifiche aree cerebrali sono molto più affidabili dei test del QI e di altri parametri riguardanti la capacità di lettura e di calcolo: un dato di cui tener conto nella pianificazione dei programmi di insegnamento per lo sviluppo delle capacità matematiche.
(30 aprile 2013)

giovedì 25 luglio 2013

correzione prova INVALSI prima media - parte quattro

Gentilissimi, proseguiamo con la correzione della prova INVALSI di prima media, svolta nello scorso maggio.

Quesito n° 7 o quesito di Nina e del treno in ritardo) Si tratta di comprendere una tabella, finalmente non eccessivamente complessa e in carattere 8, ossia  quasi illeggibile. La richiesta riguarda la partenza di un treno. Nina si trova a Napoli. Si presume che lo studente abbia ben chiaro la posizione geografica delle varie mete e la rete ferroviaria italiana. Si presume che le mete finali indicate in tabella escludano, ove non espressamente detto, Roma quale stazione intermedia. Ciò non è indicato in consegna. A questo punto poniamo il puro caso di un alunno di recente immigrazione, senza conoscenze geografiche del territorio italiano, oppure un alunno, anche italiano, senza conoscenze geografiche precise ed adeguate. La risposta al quesito dipende strettamente da tali conoscenze. Volete un esempio molto semplice? Si trova più ad est la città di Napoli o di Trieste? Controllate dopo, per favore! Il quesito matematico è strettamente dipendente dalle conoscenze geografiche. Sono necessarie troppe supposizioni, non espressamente eliminate in consegna.
a) Proviamo ora a rispondere: i treni in partenza per Roma sono ai binari 4-2-7-6.
Il treno al binario 4 ha un ritardo di 60 minuti, ossia un'ora. Dovrebbe partire alle 8.23, partirà alle 9.23;
il treno al binario 2 ha un ritardo di 25 minuti. Dovrebbe partire alle 8.47, partirà alle 9.12;
il treno al binario 7 dovrebbe partire alle 8.53. Con un ritardo di 15 minuti partirà alle 9.08;
il treno al binario 6 dovrebbe partire alle 9.23, ossia contemporaneamente al treno del binario 4.
A questo punto si prevede che pure questo treno, al binario 6, partirà, se mai partirà, in ritardo, in quanto con la stessa meta e con lo stesso orario di partenza del treno al binario 4. Per evidenti motivi di risparmio uno dei due treni sarà soppresso.
La risposta è il treno al binario 7, ossia B.
b) Quanto è lungo un treno con 9 vagoni e locomotiva? Si tratta di una stima. La divisione è semplice. La risposta corretta è per esclusione. Escludiamo i casi semplici.
A 10:10 = 1 m. Ovviamente un vagone NON può essere lungo solo 1 metro
B 50:10 = 5 m. Un vagone potrebbe essere lungo 5 metri. Tuttavia il treno è per Roma, quindi si presume NON sia un locale su linea unica.
C 250 : 10 = 25 m. Un vagone potrebbe essere lungo 25 metri.
D 1000 : 10 = 100 m. Un vagone NON può essere lungo come un campo da calcio.
La risposta corretta è, presumibilmente, C.

Quesito n° 8, o del piano cartesiano) un semplice quesito di rappresentazione su piano cartesiano:
a) si tratta di individuare le coordinate cartesiane del punto rappresentato. E' sufficiente ricordare che la prima coordinata è sull'asse x, la seconda sull'asse y. Scendiamo verticalmente dal punto Q: incontreremo la coordinata "5". Sempre dal punto Q spostiamoci a sinistra: incontreremo la retta y nel punto "6". Le coordinate del punto Q saranno: Q(5;6).
b) Se ci si sposta verso sinistra, ossia sull'asse x, di 4 unità si ottiene (5-4=1). La coordinata x è 1;
se ci si sposta verso il basso o verso l'alto si fa riferimento all'asse y. Lo spostamento verso il basso indicato è (6-3=3), per l'asse y. Le coordinate del punto, indichiamolo con P, sono: P(1;3). La risposta corretta sarà quindi la D.

Anche per oggi è tutto. NR



mercoledì 24 luglio 2013

correzione invalsi prima media - parte tre

Gentilissimi, continuiamo con la correzione commentata della prova invalsi di prima media dello scorso maggio.

quesito 5 o quesito del 5 ribaltato) il quesito è relativo alla simmetria. Si tratta di una figura, una cifra, in cui sono mostrati, prima un esempio, con il numero 4, poi un esercizio simile. Il quesito è semplice. si tratta di applicare le procedure nell'esempio all'esercizio. Se osserviamo il quattro in figura 1, nel quadrante IV, in basso a destra, esso ha "le due gambette, ossia la parte in basso a destra, che viene rappresentata in alto a sinistra. Analogamente la "curva del 5" deve essere in alto a sinistra. L'unica risposta possibile è la D.

quesito 6 o quesito della morra cinese) si tratta di un semplice calcolo delle probabilità.
a) le combinazioni in cui vincono le forbici sono "CARTA-FORBICI" e "FORBICI-CARTA". Queste combinazioni, come esplicitato nella consegna, devono essere CERCHIATE, evitate, quindi di mettere una crocetta, sottolineare, mettere il segno di spunta e rispettate PRECISAMENTE le consegne e le richieste.
b) si tratta di un quesito relativo alle frazioni. Non sempre è possibile che a metà maggio tutti gli alunni abbiano iniziato tale argomento. Comunque il quesito è semplice: in tabella si trovano 9 possibili combinazioni, di cui 2 sono quelle cercate, quindi la frazione che esprime tale situazione è 2/9.
c) si tratta di motivare una scelta. Vediamo, innanzitutto, quale scelta è necessaria. Cristina sostiene che le combinazioni con simboli uguali siano minori di quelle con simboli differenti. Le combinazioni con simboli uguali sono tre: carta-carta; sasso-sasso; forbici-forbici. Le altre combinazioni sono, quindi, 6, a coppie di due. Cristina ha ragione.

Per alcuni alunni il distrattore era dato dal fatto che questa richiesta era presente in una pagina successiva rispetto alla tabella. Si tratta, con buona evidenza, sia di un distrattore sia di un modo ulteriore per "far perdere tempo" agli alunni nella risoluzione dei quesiti successivi.

Alla prossima. Una nonna in riabilitazione (ancora per moooolto tempo). NR


martedì 23 luglio 2013

apprendimento e numeri

Gentilissimi,
eccovi un recente articolo comparso sulla newsletter Le Scienze.
Come già molte nonne sanno, per esperienza personale, l'apprendimento modifica i circuiti neuronali. Ossia, detto in altri termini, imparare Matematica NON dipende da alcuna predisposizione naturale particolare.
Tutti possono imparare Matematica. Si tratta, come già detto in altro post, di motivazione ed esercizio, in quanto i numeri, in sè, come simboli, si imparano. E, come in tutte le cose, serve pure un certo equilibrio (leggere per comprendere!).
EccoVi l'articolo:

neuroscienze matematica apprendimento
L'area cerebrale per riconoscere i numeri


                                                             © TongRo Images/Corbis
Nel nostro cervello c'è un piccolo gruppo di cellule, situato nel giro temporale inferiore della corteccia, che si attiva quando è stimolato dalla visione della specifica forma grafica dei numeri imparata a scuola. La scoperta di questo centro di elaborazione dei numerali dimostra la capacità di cambiamento dei circuiti cerebrali in risposta all'istruzione, ma la sua localizzazione lascia intravedere anche un singolare legame evolutivo con alcune abilità dei nostri antenati "scimmieschi"  (red)
La capacità di riconoscere i numerali, ossia i numeri scritti nella loro forma standard, come “1” o “43”, dipende da un piccolo nucleo di cellule, la cui localizzazione è stata individuata da neuroscienziati della Stanford University, che illustrano la loro ricerca in un articolo pubblicato sul “Journal of Neuroscience”. La scoperta offre una prova diretta di come l'apprendimento sia in grado di plasmare i circuiti cerebrali, aggiungendo anche un interessante squarcio sull'evoluzione delle capacità di astrazione dell'essere umano. Il centro identificato è costituito da appena uno o due milioni di cellule nervose (il cervello ne ha complessivamente circa cento miliardi), situate nel giro temporale inferiore, una regione della corteccia coinvolta nell'elaborazione delle informazioni visive. Nel corso degli esperimenti ai soggetti sono state mostrate immagini di numeri scritti secondo la grafia corretta, sottoposti a varie deformazioni, lettere, numeri scritti a parole (“sette” invece di "7") e altri grafemi. Successivamente sono state anche fatte ascoltare ai pazienti parole che indicavano numeri (per esempio “nove”) o che avevano una certa somiglianza fonetica con esse (per esempio “nave”).  "In questa piccola popolazione di cellule nervose, abbiamo visto una risposta molto più forte ai numerali che ad altri simboli pur di aspetto, suono o significato molto simile”, ha detto Josef Parvizi, che ha diretto lo studio. E dato che nessuno nasce con l'abilità innata di riconoscere i numerali, osservano i ricercatori, la ricerca offre una eclatante dimostrazione della capacità dei circuiti cerebrali di modificarsi in risposta all'istruzione.  Questo piccolo gruppo di cellule, specializzato nell'elaborazione dei numerali, si colloca all'interno di una più vasta area della corteccia che viene attivata da simboli visivi fortemente caratterizzati da linee che formano angoli e da linee curve, offrendo  un singolare collegamento evolutivo fra una capacità astratta e... l'abilità di dondolarsi appesi a un ramo: “Sembra che l'evoluzione abbia plasmato questa area del cervello per rilevare stimoli che abbiano a che fare con linee che si intersecano a differenti angoli",  ha osservato Parvizi, "il tipo di intersezioni che una scimmia deve saper interpretare, molto rapidamente, quando si sposta oscillando da un ramo all'altro in una fitta foresta.”. Studi così accurati, in grado di localizzare piccoli gruppi di neuroni, si basano sulla possibilità di registrare l'attività dei neuroni in volontari che, soffrendo di gravi forme di epilessia, si sottopongono all'impianto di schiere di microelettrodi nel cervello, per localizzare il focolaio all'origine della malattia.

(17 aprile 2013)

effetto Droste

Gentilissimi,
riprendiamo i post del Vostro blog preferito con un interessante collegamento tra arte-pubblicità e matematica.
Si tratta dell'effetto Droste.
Abbiamo parlato, in un post precedente, di frattali.
ImmaginateVi, ora, un frattale che non sia esteso su tutto il piano visuale, ma reiterato su se stesso relativamente ad un punto.
Ecco il wikilink:

Effetto Droste

Sebbene la wiki-voce accenni solo nelle note al collegamento matematico, Vi consiglio la visione di un non recente dvd della collana Mentimatematiche, pubblicato da Le Scienze. In particolare il numero 7, in cui il professor Lenstra spiega questo effetto dal punto di vista grafico e matematico. Il titolo del dvd è "Zoomando sui quadri di Escher".
Se non sapete chi è Escher, eccoVi un altro link:

Escher

Ed ecco una bellissima immagine con Effetto Droste che potete trovare sul web:


Complimenti a chi ha realizzato questa immagine!
Nonna Rosa

sabato 13 luglio 2013

Oggi Vi lascio una frase detta all'ONU da una nipote:

<<L'istruzione è l'unica soluzione>> (Malala Yousafzai, 12 luglio 2013)

venerdì 12 luglio 2013

un quiz indiano

Gentilissimi, dopo un lungo periodo di pausa osteoporotica, la Vostra nonna è ritornata, speriamo più in forma che pria.
EccoVi un assaggio di quanto Vi aspetta, o Voi studenti di 1-2-3 media!
Per quanto riguarda la sezione, vedremo a settembre.
Per ora un invito alla ricerca sul web.
Provate a rispondere a questo quiz:
"Seguendo le indicazioni, fornite in modo sparso, sotto elencate, cosa è possibile trovare, o visitare, o vedere, o fotografare?
Le indicazioni sono le seguenti:
INDIA - FORTE GWALIOR - ORCHHA - MADHYA PRADESH - TEMPIO DI CHATURBHUJ"
Ovviamente il quesito ha a che fare, evidentemente, con la Matematica.
Buona ricerca! Spedite, mediante commento, le Vostre risposte. Nonna Rosa