giovedì 31 ottobre 2013

Amilcare, le uova e il gatto

Gentilissimi, Vi racconto una storiella. Se Vi interessano le frazioni continuate a leggere, altrimenti risolvete il seguente enigma:

ENIGMA
GA/X

STORIELLA
Amilcare entra nel pollaio per raccogliere le uova deposte dalle sue intrepide galline. Dalla sera precedente si è accorto che, probabilmente, una faina si aggira nei dintorni, cibandosi delle uova che le galline depongono fuori dal pollaio. Oggi la faina si è mangiata 1/3 delle uova. Raccoglie le rimanenti, sperando che sua moglie, la felice Felicita, prepari le tagliatelle. Prende un cestino, vi mette le uova e si avvia verso la cucina. Ma ecco che il gatto Gigione, spaventato dalla sua ombra, si precipita tra le gambe dell'uomo e fa perdere l'equilibrio ad Amilcare. Alcune uova, i 2/5 di quelle deposte, cadono per terra e si rompono. Felicita si precipita, sentendo il rumore, accusando il marito di dabbenaggine. Con le 4 uova rimaste, non potendo preparare altro, prepara una frittata per la cena. Quante uova avevano deposto le galline intrepide quel giorno?

(Certo che il problema è proprio lunghetto, non pensate?)
Una nonna intrepida come le galline del signor Amilcare. NR

mercoledì 30 ottobre 2013

ancora spiegazioni sulla frazione come rapporto

Gentilissimi,
alcuni di Voi mi hanno fatto rilevare come, nell'esercizio 14) del post precedente sia stato commesso un errore.
Gentili a leggere il post, tuttavia non di errore si tratta. Semmai di mancata spiegazione.
Come mai una frazione moltiplicata per un numero intero può essere considerata un rapporto?
Procediamo con ordine.
1) Un rapporto ha un primo termine, detto antecedente (A), un secondo termine, detto conseguente (C) e un risultato, o rapporto (R). Per tale motivo possiamo dire che 3:5 = 3/5 sia un rapporto.
2) CALCOLO DI UN ANTECEDENTE (CALCOLA A)
Come possiamo, ora, trovare un antecedente? Ossia, se non ho il primo termine (A), esso è incognito (x). La lettera "x" indica, appunto, un valore non noto, o incognito. Con un esempio:
 x : 5/7 = 2/5
Possiamo considerare tale rapporto come se fosse una divisione. Da cui
x : 5/7 = 2/5
Per la divisione possiamo pure dire che il quoziente moltiplicato per il divisore ha, come prodotto, il dividendo.
(2/5) (5/7) = x
oppure
x = (2/5) (5/7)
semplificando la moltiplicazione
x = 2/7
RicordateVi che il risultato di un rapporto è sempre scritto nella forma x = ....
Tale metodo per calcolare l'antecedente di un rapporto, conoscendo C e R è valido anche con interi e misti, o variazioni del caso.
3) CALCOLO DEL RAPPORTO (CALCOLA R)
Per calcolare il rapporto tra due numeri, per quanto detto in precedenza, è sufficiente effettuare, quando possibile, una divisione tra A e C.
Con un esempio:
3/11 : 4/9 = x
Applicando opportunamente le procedure per le operazioni di divisione tra frazioni possiamo scrivere
x = (3/11) (9/4)
x = 27/44
4) CALCOLO DEL CONSEGUENTE (CALCOLA C)
Questa volta partiamo da un esempio. Potremmo trovarci di fronte ad una scrittura di questo genere
2/9 : x = 7/15
Appare evidente come l'incognita sia il conseguente. Per quanto detto al punto 2), x è un divisore. Come primo passaggio dobbiamo indicare le condizioni di possibilità di questa operazione. In altre parole il rapporto deve essere possibile. x NON può essere uguale a zero. Indico le condizioni di possibilità, o campo di esistenza, del rapporto. In altre parole, scrivo, prima di procedere al calcolo, che x deve essere diverso da zero.
Una tra le scritture possibili è la seguente
 C. E.:  x ≠ 0
Per quanto detto al punto 2) possiamo scrivere che
7/15 x = 2/9
ossia
x = (2/9) (15/7)
semplificando
x = 10/21 con C.E.:  x ≠ 0

NR

lunedì 28 ottobre 2013

Verifica di calcolo con frazioni

Gentilissimi,
Vi state preparando per una verifica di calcolo sulle frazioni? Ecco, solo per Voi, e per tutti coloro che, per pura fatalità, seguono il presente blog, una serie di esercizi, con tipologia annessa, per provare la Vostra preparazione, ovviamente prima di passare a compiti maggiormente impegnativi (problemi, espressioni ed altro):
1) ADDIZIONI CON DUE ADDENDI
2/3 + 4/5 =
2) SOTTRAZIONI
6/5 - 1/8 =
3) ADDIZIONI CON PIU' ADDENDI
3/7 + 5/21 + 4/3 =
4) MOLTIPLICAZIONI CON DUE FATTORI
(7/12) (36/35) =
5) MOLTIPLICAZIONE CON PIU' FATTORI
(8/9) (15/4) (27/20) =
6) DIVISIONI
(45/11) : (9/22) =
7) POTENZA DI FRAZIONE
(7/10) EXP 2, OSSIA 7/10 ALLA SECONDA
8) PROPRIETA' DELLE POTENZE
(5/7) EXP 6 : (5/7) EXP 3 =
9) POTENZA DEL NUMERATORE
(8 EXP2)/ 13 =
10) POTENZA DEL DENOMINATORE
17/ (10 EXP 6) =
11) POTENZA DI FRAZIONE COME RAPPORTO NON OMOGENEO
Spiegazione: può accadere che una frazione sia un rapporto tra grandezze diverse. Ad esempio: se consideriamo il prezzo al metro cubo di una casa, avremo al numeratore una grandezza "con esponente 1", mentre, al denominatore, una grandezza "con esponente 3", ossia, appunto, al cubo. Per la risoluzione di questa tipologia di esercizio, proviamo a considerare, per analogia, la situazione di una "lite domestica". Il marito, per sbollire l'ira funesta, se ne va in cantina. La moglie se ne va nell'orticello. Ogni elemento, o termine, dell'operazione si risolve da solo. Solo in seguito si ripristina il rapporto precedente (tanto la colpa è sempre, o quasi, di mio marito!). N.B.: Non preoccupateVi, mio marito LEGGE questo blog, pur non essendoVi iscritto.
(5 exp3)/(2 exp 6) =
12) FRAZIONE COME OPERATORE SUL NUMERO
3/5 DI 135 =
13) RAPPORTO DI SCALA (INGRANDIMENTO O RIDUZIONE)
CALCOLA I LATI DI UN RETTANGOLO CON ALTEZZA 12 CM E BASE 18 CM, SE, LO STESSO RETTANGOLO, E' RIDOTTO IN SCALA 1:6
14) FRAZIONE COME RAPPORTO
CALCOLA I 7/4 DI 28 =
15) RICERCA DEL CONSEGUENTE
 11/3 DI x = 33            x =
16) RICERCA DELL'ANTECEDENTE
 x DI 15/14 = 28/30     x =
17) RIDUZIONE AI MINIMI TERMINI
RIDUCI AI MINIMI TERMINI LA FRAZIONE 250/144
18) CASI PARTICOLARI DELLE FRAZIONI
 0/0 =
19) DIVISIONE MULTIPLA
(8/11) : (3/22) : (9/2) =
20) FRAZIONE DI FRAZIONE
(5/4) / (15/2) =
Buon lavoro! E un saluto a mio marito! NR

mercoledì 23 ottobre 2013

Le gelatine di Phineas e Ferb

Gentilissimi, proprio oggi, su K2, un canale digitale, è stata trasmessa una puntata divertente di Phineas e Ferb.
Il titolo dell'episodio, se non erro, dovrebbe essere "Questo sì che è un labirinto!".
In questo episodio un amico di Phineas, Baljeet Patel, chiede a Phineas e a Ferb di calcolare quante gelatine sono presenti all'interno di un vasetto di vetro.
Il suggerimento dato dai due ragazzi è che pi greco sia circa 22/7. Grazie a questo stratagemma riescono a contare, senza toglierle dal vasetto, quante sono le gelatine.
Poiché, sicuramente, conoscete questo cartone animato, Vi lascio lo stesso problema.
Eccolo!
In un vasetto di vetro sono contenute gelatine. La forma delle gelatine è quella classica "a orsetto". Tali orsetti hanno una caratteristica a tassellatura completa del piano. In altre parole, se non sapete chi sono Escher o Penrose (e Vi consiglio di ricercarne immediatamente informazioni e immagini sul Vostro motore di ricerca preferito), è possibile suddividere l'orsetto di gelatina sino a coprire interamente un piano. Inoltre le gelatine sono, per così dire, comprimibili. In altre parole, sono così "compattate" che non vi sono vuoti tra un orsetto e l'altro.Ogni gelatina, scomposta, è formata da un prisma retto a base triangolare e da un parallelepipedo rettangolo. Il triangolo del prisma, alto 1 cm e con una base di 1 cm, è un triangolo isoscele. L'orsetto è alto 1 cm. Il parallelepipedo rettangolo ha le dimensioni di base di 1,5 cm e 3 cm.
Il vasetto ha un diametro di 9 cm ed è alto 21 cm. Il vasetto è un cilindro retto.
Quante sono le gelatine contenute nel vasetto?

Se volete sapere come ho fatto a conoscere tutte queste informazioni sappiate che sono amica, su Msn, di Candace. Una nonna che sa e che può! NR

addizioni algebriche con numeri decimali

Gentilissimi, alcuni hanno chiesto, sebbene sia meglio parlare di alcune, di spiegare come si procede con il calcolo di addizioni algebriche con numeri relativi decimali.
Come passo iniziale, invito ad una lettura il più possibile attenta, a post precedenti. Sono indicati i casi, e le relative spiegazioni, di addizione algebrica con relativi. Se non erro, si tratta del mese di ottobre del 2012.
Controllate, poi sappiatemi dire.
Considerando, ora, il calcolo con addizioni algebriche, relativo e riferito ai numeri decimali, possiamo suddividere gli esercizi nel modo seguente:
A) addizione algebrica tra due numeri concordi negativi
Es.: (-2,35) + (-3,87) =
Il primo addendo rappresenta, o rappresenterebbe, un debito, a cui, nel secondo termine, aggiungo un altro debito. Se ho un debito e, successivamente, aggiungo un altro debito il debito complessivo aumenta. Ho ancora un debito, per cui il segno della somma sarà negativo. Di quanto è il debito finale? Ai 2 euro e 35 centesimi si aggiunge il debito di 3 euro e 87 centesimi.
Applicando il ragionamento, oppure applicando la proprietà dissociativa, potremmo dire che al debito di 2 euro si aggiunge il debito di 3 euro, ossia ho un debito di 5 euro.
Allo stesso modo posso dire che al debito di 35 centesimi si aggiunge il debito di 87 centesimi. Ho, nei centesimi, un debito di 122 centesimi. In altre parole ho un debito di 1 euro e 22 centesimi.
Associando i risultati precedenti posso dire che il debito complessivo è di 5 + 1,22 euro, ossia 6,22 euro di debito. Quindi (-6,22)
Per cui: (-2,35) + (-3,87) = - 6,22
B) addizione algebrica tra due numeri concordi positivi
Es.: (+4,66) + (+3,75) =
In questo caso non ho debiti. Anzi! Mi vengono accreditati, consegnati, se meglio preferite, prima 4 euro e 66 centesimi. In seguito 3 euro e 75 centesimi. Applicando il medesimo ragionamento, o la medesima proprietà vista al caso A) posso dire che, sicuramente, ho un credito. Il segno della somma sarà positivo.
Ho 4 euro, nel primo addendo, a cui aggiungo 3 euro del secondo addendo, per un totale parziale di 7 euro. A questo parziale aggiungo i centesimi: 66 nel primo addendo e 75 nel secondo, per un totale di centesimi (66+75), ossia 141 centesimi. Tale somma parziale ammonta a 1,44 euro. Ad essa aggiungo i 7 euro precedenti. Per cui ho un accredito di euro 7+1,41 = 8,41 di accredito. Ossia (+7,41).
Per cui: (+4,66) + (+3,75) = + 8,41
Per i casi con termini discordi, o nei casi con più addendi, Vi rimando ad una prossima occasione. NR
Dimenticavo l'esercizio domestico o vacanziero:
* (-4,57) + (-3,76) =
* (+0,87) + (+9,47) =
Buon lavoro!

martedì 22 ottobre 2013

esercizi con numeri misti

Gentilissimi,
Vi lascio, a proposito di addizioni e sottrazioni con frazioni, alcuni esercizi con i cosiddetti numeri misti.
Si tratta di addizioni e sottrazioni, appunto, in cui tra gli addendi compare almeno una frazione e un numero intero.
Essi si possono considerare sia come operazioni sia come numeri veri e propri.
Vediamo un esempio.
A) 2 + 7/6 =
Considerando A) come operazione, potremmo valutare che il primo addendo, ossia 2, sia un intero. In altre parole potremmo trasformare 2 in 2/1. L'operazione diverrebbe
B) 2/1 + 7/6 =
Si procede, a questo punto, come per le addizioni.
C) (12+7)/6 =19/6

Potremmo pure considerare A) come se fosse numero. Con altri termini, ad esempio, è come se considerassimo l'orario come numero. Le 6 e mezza, ossia 6+1/2, corrispondono a (2x6+1)/2, ossia a 13/2. 13 mezze ore sono proprio le 6 e mezza.
Nell'esempio A), allora, 2+7/6 diviene
D) (6x2+7)/6 = (12+7)/6= 19/6
Il risultato finale è il medesimo. Il procedimento concettuale sottostante è differente.
Ed ora i Vostri esercizi. Ve ne propongo 10 con le addizioni e 10 con le sottrazioni. Usate pure il metodo che Vi aggrada (C o D).
Con le addizioni:
* 2+9/4 =
* 9/12 + 1 =
* 2 + 12/20 =
* 6 + 1/3 =
* 1/2 + 5 =
* 1/9 + 5 =
* 2 + 1/6 =
* 3 + 4/3 =
* 1/4 + 5 =
* 4/5 + 3 =
Con le sottrazioni:
* 11/5 - 1 =
* 3 - 2/7 =
* 2 - 9/20 =
* 1 - 23/42 =
* 2 - 17/45 =
* 19/18 - 1 =
* 9 - 1/8 =
* 83/24 - 2 =
* 34/15 - 1 =
* 4 - 4/5 =
Buon lavoro. NR


lunedì 21 ottobre 2013

qualche sottrazione con numeri razionali

Gentilissimi, proseguiamo con gli esercizi. Anche oggi Vi propongo operazioni con le frazioni. Si tratta, come richiesto da Miss Bersaglio per occhiali, di sottrazioni con le frazioni. Il procedimento è sempre il medesimo applicato con le addizioni.

a) 11/3 - 3/4 =
b) 10/11 - 1/8 =
c) 24/5 - 7/8 =
d) 24/15 - 1/4 =
e) 5/3 - 1/15 =
f) 1/2 - 9/19 =
g) 12/21 - 1/3 =
h) 13/10 - 1/5 =
i) 11/12 - 9/16 =
l) 8/3 - 16/27 =

Vi ricordo che, prima di iniziare le operazioni, dovreste considerare la possibilità che le Vostre frazioni, in questo caso minuendo e sottraendo, NON siano ridotte ai minimi termini, ossia si possa applicare la proprietà invariantiva delle frazioni.
Essendo una proprietà di una operazione, infatti possiamo considerare le frazioni come operazioni, essa serve a semplificare, facilitare e velocizzare i calcoli. Osservate, ad esempio, l'esercizio d), e non solo. 24/15 potrebbe essere ridotto ai minimi termini? Oppure 24 e 15 sono numeri primi tra loro?

Fatemi sapere e inviate i Vostri dubbi. Se qualche operazione non Vi riesce, inviate, per commento, la Vostra esecuzione. Cercheremo insieme di capire gli errori commessi.
Buon lavoro!
NR, che di errori ne ha commessi tanti.

domenica 20 ottobre 2013

esercizi semplici con frazioni

Gentilissimi,
"Miss Bersaglio per occhiali" ha chiesto di proporre alcuni esercizi con addizioni e sottrazioni con frazioni.
Proviamo a distinguere tali esercizi in gruppi:
* a due addendi (gruppo A)
* a più addendi (gruppo B)

Ecco alcuni esercizi a due addendi. Penso che dieci esercizi per tipologia possano andare:
Gruppo A
1/15 + 3/5 =
2/3 + 5/4 =
1/3 + 1/5 =
1/6 + 5/3 =
2/11 + 5/2 =
4/9 + 2/5 =
3/20 + 1/2 =
3/10 + 1/9 =
1/4 + 2/3 =
3/2 + 7/4 =

Gruppo B
1/8 + 3/4 + 7/16 =
5/16 + 3/2 + 9/4 =
1/2 + 2/3 + 3/7 =
1/21 + 2/7 + 2/3 =
1/27 + 5/18 + 1/9 =
1/5 + 2/25 + 3/50 =
2/5 + 4/9 + 1/15 =
4/35 + 1/7 + 9/5 =
3/4 + 1/12 + 7/20 =
2/7 + 31/21 + 2/3 =

Provate ad esercitarVi da soli. Se non riuscite a risolvere qualche esercizio, provate ad inviare la Vostra soluzione completa di svolgimento. Cercheremo insieme di comprendere l'errore.
Una Nonna che, di erori, appunto, ne ha fatti molti. NR

sabato 19 ottobre 2013

addizioni e sottrazioni con frazioni

Gentilissimi, eccoVi alcuni esercizi di riepilogo.
a) addizioni in Q, ossia addizioni con frazioni
Come si eseguono le addizioni tra frazioni? In un precedente post (è aperta la caccia al tesoro di chi troverà la data corretta) abbiamo già parlato di operazioni con frazioni. Ora ripassiamo. Sappiamo che una addizione è una operazione. Essendo una operazione "devo fare qualcosa". Se con i numeri interi devo "contare in avanti", quale significato ha con le frazioni? Proviamo a ragionare. In una festa di compleanno, oppure in un pizza-party, gli organizzatori hanno acquistato teglie di pizza ai gusti vari. Ogni teglia era divisa in tranci. Le teglie con pizza ai wurstel e patatine erano divise in 6 pezzi per teglia Al termine della festa sono avanzati 11 pezzi. Le teglie con pizza al prosciutto erano suddivise in 10 pezzi per teglia. Alla fine ne sono avanzati 7 pezzi. Quanta pizza è avanzata?
Sicuramente possiamo raccogliere tutti i pezzi avanzati e "metterli insieme". Appare così facile comprendere che non ho "contato in avanti" i pezzi avanzati, ma, molto semplicemente, li ho raccolti in un unico contenitore.
Quale operazione è stata eseguita?
11/6 + 7/10
Come si trova il risultato? Ovviamente eseguendo l'operazione di addizione.
Procediamo con ordine.
* Osserviamo i denominatori (studiate se non sapete di cosa si tratta!). Essi sono: 6, per il primo addendo, e 10 per il secondo addendo.
* Faccio "scorrere" le tabelline relative, ossia faccio "scorrere" la tabellina del 6 e quella del 10.
* Cerco il primo numero che si trova presente in entrambe le tabelline (il minore possibile!).
tabellina del 6: 6-12-18-24-30-36-42-...
tabellina del 10: 10-20-30-40-50-...
* Dopo tale passaggio ho scoperto che il numero che cercavo è 30.
* A destra del segno = scrivo una linea di frazione un poco lunga, come nell'esempio seguente
11/6 + 7/10 = -------------------
* Scrivo sotto alla linea di frazione il numero cercato, ossia 30, e sopra alla linea di frazione, in corrispondenza del 30, scrivo il segno +

11  +  7    = ________+__________
6       10                     30

* scopro "quante volte" il 30, detto denominatore comune, è multiplo del 6. Il 30 è multiplo del 6 ben 5 volte.
* "5 volte" cosa? Ovviamente 5 volte il numero 11, ossia 5 volte il numeratore. 5x11 = 55
* scrivo 55 sopra alla linea di frazione prima del segno +


11  +  7    = __55___+__________
6      10                     30

* Procedo con il secondo addendo. Quante volte il 30 è multiplo del 10? Evidentemente 3 volte.
* "3 volte" cosa? 3 volte il numeratore, ossia 7. Quindi 3x7 = 21
* Scrivo 21 dopo il segno +, sopra alla linea di frazione, come nell'esempio


11  +  7    = __55___+__21________ =        _______
6      10                     30                                       30

* al risultato, dopo il segno =, scrivo, spostata di un poco verso destra, una linea di frazione, con sotto il denominatore comune, ossia 30, come sopra riportato.
* Eseguo l'addizione tra i numeri sopra alla linea di frazione, scrivendone la somma, come nell'esempio seguente



11  +  7    = __55___+__21________ =        ___76__
6      10                     30                                       30

* Ottengo un risultato parziale 76/30. Se il denominatore ed il denominatore del risultato parziale sono presenti nella medesima tabellina, allora si possono "ridurre ai minimi termini", come nell'esempio seguente, utilizzando la proprietà invariantiva delle frazioni


11  +  7    = __55___+__21________ =        ___76__  =    38
6      10                     30                                       30             15
* Ho ottenuto così il risultato della nostra operazione.
* EccoVi un esercizio di allenamento

13/2 + 4/9 =

Provate da soli, magari seguendo il procedimento descritto. In seguito, se pensate sia utile, inviate commenti per inserire ulteriori esercizi.
NR



martedì 15 ottobre 2013

correzione prova esame terza media - parte sei

Gentilissimi,
continuiamo con la correzione della prova nazionale per l'esame di terza media, svoltasi nello scorso giugno.

Quesito 9) o "aerogramma"
Si tratta di suddividere, percentualmente, un diagramma a torta. La richiesta chiede, inoltre, di indicare, per ogni settore, l'attività o il settore corrispondente. Il diagramma è facilmente suddivisibile in 10 parti, semplicemente congiungendo i "puntini" già rappresentati sulla circonferenza, col centro del cerchio. Ogni parte, così, rappresenta il 10% del totale. 6 "fettine" rappresentano il terziario; 3 il secondario e 1 il primario.

quesito 10) o "legge oraria"
a) Si tratta di un grafico in cui, in ascissa, è indicato il tempo (t) e sull'ordinata lo spazio (s). Dall'analisi del grafico si comprende come i due oggetti considerati partano da "spazi" differenti nel medesimo istante.
Poiché la traiettoria è la stessa, come indicato in consegna, sicuramente l'oggetto che parte da più lontano ha velocità inferiore. Infatti i due oggetti si incontrano nel punto P. La risposta corretta è A;
b) ovviamente, per quanto sopra detto, nel punto P i due oggetti si incontrano, per cui la risposta corretta è A.

Quesito 11) o quesito del triangolo e della semicirconferenza
In questo problema di geometria appare come essenziale una corretta lettura del testo e delle consegne. Il quesito, pur adatto ad una terza media, appare un poco complesso. Eseguiamo quanto richiesto, congiungendo i punti C E. Si ottiene un triangolo. Il triangolo ACE è scomposto in due triangoli: ECO e AEO. EO è perpendicolare al segmento AC, che possiamo considerare base del triangolo. A questo punto possiamo trovare la misura della base. CO è congruente con OB, in quanto raggi di una stessa circonferenza; la loro misura è 12 cm. La base misura AO + OC = 18 + 12 = 30 cm
L'altezza, ossia EO, misura anch'essa 12 cm. Possiamo calcolare l'area del triangolo:
A = (bxh) : 2 = (AO x EO) : 2 = 30x12:2 = 180 cmq
La risposta corretta è C. Il procedimento è quello ora indicato.

Nonna Rosa

lunedì 14 ottobre 2013

semplici addizioni con frazioni - un gioco

Gentilissimi, una nonna mi ha chiesto un link con semplici esercizi di addizione con frazioni.
Come sempre Vi lascio il link di riferimento.
Decidete se scaricare il gioco sul Vostro pc, o tablet, oppure giocare on line. NR

Ecco il link:

addizioni con frazioni

Buon divertimento! NR

scassa 15

Gentilissimi,
per motivi diversi abbiamo accennato ad un semplice gioco la cui finalità è riordinare i numeri da 1 a 15. EccoVi la versione con download gratuito di quel gioco. Il link di riferimento è il seguente:

gioco del 15

DivertiteVi, studiandone le possibili correlazioni con quanto state studiando con le Vostre nonne, o nonni. NR

il primo zero "scritto"

Gentilissimi,
in altra occasione abbiamo parlato della cifra zero. Il solerte Nicola ha pure risolto un enigma in proposito.
EccoVi, ora, l'immagine del monumento in cui, appunto, compare per la prima volta la cifra zero, nel numero 270. NR