mercoledì 30 aprile 2014

verifica teoria proporzioni, con correzione (parte tre)

Gentilissimi, proseguiamo con la proposta di verifica, con correzione. L'argomento è ancora "proporzioni e rapporti". Indichiamo in maiuscolo la domanda, in neretto la risposta corretta tra quelle presentate. Tra parentesi gli eventuali commenti della Nonna.
Come anticipato nel precedente post, propongo 10 domande a scelta multipla.

6) QUALE PROPORZIONE TRA LE SEGUENTI INDICA IL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE?
A) i : c1 = c2 : i
B) hi : pc1 = pc2 : hi
C) i : hi = pc1 : pc2
D) i : c1 = c1 : pc1
(La risposta corretta è B). (Se applichiamo, alla proporzione, la proprietà fondamentale, otterremo che "il prodotto tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è uguale al quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa". Si tratta di un'altra possibile enunciazione del secondo teorema di Euclide)

7) a:b=c:d ; COME SONO DETTI a E c?
A) CONSEGUENTI
B) MEDI
C) ESTREMI
D) ANTECEDENTI
(Sono i termini prima del segno "sta", quindi gli antecedenti. Da notare la presenza di distrattori: "a E c", porta, per assonanza, a "conseguenti", non ad antecedenti)

8) QUALE, TRA LE SEGUENTI, E' UNA PROPORZIONE CORRETTA?
A) 3:5=11:7
B) 14:4=7:2
C) 12:5=10:3
D) 5:9=4:7
(Per rispondere a tale quesito è opportuno applicare "prodotto medi ...". La proporzione A porta al risultato 55=35, errato. La proporzione B) porta a 28=28, corretto)

9) NELLA PROPORZIONE NON NUMERICA SEGUENTE 4:6=12:8
A) OGNI ANTECEDENTE E' IL NUMERO DI UN MESE
B) OGNI CONSEGUENTE E' UN MESE
C) OGNI ANTECEDENTE E' IL NUMERO DI LETTERE
D) OGNI CONSEGUENTE E' IL DOPPIO DEL NUMERO PRIMA
(Andiamo per esclusione. Il quesito riporta il fatto che NON sia numerico. Quindi la risposta D) è errata. Consideriamo la risposta B): ogni conseguente è un mese. Nel quesito non si trovano "mesi", ossia non sono indicati i nomi dei mesi, ma, eventualmente, il numero d'ordine del mese. Per questo anche la risposta B) è errata. Controlliamo le risposte A) e C). Secondo la risposta A), ogni antecedente è il numero di un mese. Se fosse vero, allora 4 vorrebbe dire "Aprile", quindi 12 è "Dicembre". La risposta potrebbe essere corretta. La risposta C) dice che ogni antecedente è il numero di lettere. Non è chiaro di cosa si stia parlando, ma, sicuramente, la relazione è con il proprio conseguente, altrimenti non si tratterebbe di una proporzione. Ricontrolliamo A): 4 è aprile, ma aprile ha proprio, in Italiano, 6 lettere. Se fosse così, allora dicembre deve avere 8 lettere. E' proprio così. La risposta A) è quella corretta. La risposta C) non è sufficientemente chiara)

10) COSA ACCADE SE OTTENGO UNO SCONTO SU UN ABITO DA 135 EURO?
A) PAGHERO' AL MASSIMO 135 EURO
B) NON PAGHERO'
C) PAGHERO' SICURAMENTE MENO DI 135 EURO
D) PAGHERO' SICURAMENTE LA META'
(Come mai in questa verifica si trova una domanda sugli sconti? Le percentuali si possono calcolare anche mediante proporzioni. Nel caso presente, se lo sconto fosse del 15%, potremmo impostare la proporzione seguente
15:100=x:135
per ottenere il valore dello sconto. Il quesito è congruente con la tipologia di verifica proposta. Lo sconto è un valore da togliere ad un prezzo iniziale. Quindi pagherò sicuramente meno di 135 euro, a meno che lo sconto non sia 0%. Allora NON ho uno sconto)

Alla prossima. E, mi raccomando, studiate. Una nonna operosa, almeno oggi che la sciatica mi ha lasciato un periodo di riposo. NR

verifica teoria proporzioni, con correzione (parte due)

Gentilissimi,
proseguiamo con la verifica, già corretta, di teoria sulle proporzioni. In maiuscolo è riportata la domanda, mentre tra parentesi commenti relativi alla richiesta o alla risposta. 
3) INDICA UNA DELLE PROPRIETA' NON FONDAMENTALI DELLE PROPORZIONI.
(Appare evidente che NON si parli della proprietà fondamentale, che possiamo sintetizzare con "prodotto medi uguale prodotto estremi". Quale proprietà si deve indicare? Se le conoscessi tutte, avendo tempo a disposizione, potrei enunciarle. La richiesta, tuttavia, è chiara: "una"! Quella che preferisco, oppure quella che ho capito meglio. Di solito, così facendo, evito complicazioni, o errori. Proviamo con la proprietà detta "invertire")
Una delle proprietà relative alle proporzioni è detta "invertire". Utilizzando tale proprietà si ottiene una nuova proporzione. Dalla proporzione iniziale ogni antecedente, ossia il numero che precede il segno di divisione, si scambia di posto con il proprio conseguente, ossia il numero che segue al segno di divisione.
Ad esempio:
5:35=4:28
diventa
35:5=28:4
(Per ricordarVi come procedere, potreste, in maniera solo verbalmente violenta, utilizzare il pollice e l'indice delle Vostre mani. Avvicinate i pollici, tenendoli con la palma della mano rivolta verso l'esterno. Gli indici devono essere ben tesi, rivolati verso l'esterno. Si ottiene una posizione delle mani detta "Spara fuori". Al posto di "sparare fuori", è possibile "sparare dentro". In questa posizione delle mani gli indici sono rivolti uno contro l'altro, come se ci fosse un duello tra cowboys. Nella posizione di partenza i pollici corrispondono ai medi della proporzione, mentre gli indici sono gli estremi ("Spara fuori"). Dopo aver applicato la proprietà, gli estremi sono diventati medi, mentre i medi sono diventati estremi ("Spara dentro"))
4) COSA SI INTENDE CON "RAPPORTO OMOGENEO"? FAI UN ESEMPIO DI RAPPORTO NON OMOGENEO.
Per rapporto omogeneo si può intendere una frazione in cui il risultato ha la stessa grandezza o unità di misura di uno dei due termini della frazione. Ad esempio i 3:5 di una torta è ancora "torta". Un rapporto è detto non omogeneo se la grandezza finale, o, in altre parole, la grandezza del risultato non corrisponde né alla grandezza dell'antecedente, né a quella del conseguente. Un esempio potrebbe essere dato dal rapporto tra spazio, misurato in metri con un righello, e tempo, misurato in ore con un orologio. Il rapporto tra spazio e tempo non si misura né col righello né con l'orologio. Si ottiene una grandezza diversa sia dall'antecedente sia dal conseguente. Tale grandezza è misurata dal tachimetro ed è detta "velocità". Ad esempio: percorrendo 120 km in 2 ore, ossia 120 : 2, si ottiene una velocità media di 60 km/h.
5) COSA SIGNIFICA "GRANDEZZE INCOMMENSURABILI"?
Due grandezze sono incommensurabili se il loro rapporto ha, come risultato, un numero non esprimibile mediante frazioni. In altre parole, se il risultato è un numero irrazionale, una radice. Ad esempio il rapporto tra lato e diagonale di un quadrato non è esprimibile con una frazione. Infatti esso è uguale a radice quadrata di 2

Proseguiremo con il prossimo post, magari modificando la "verifica". Proveremo con le domande a scelta multipla, per poi passare a quelle "VERO O FALSO".
Una nonna vera, e non falsa! NR


una verifica di teoria sulle proporzioni (con correzione)

Gentilissimi,
il nostro Conto Estero, o la nostra CE, ha chiesto di proporre una serie di domande, e risposte, sulla teoria delle proporzioni. Non avendo specificato se le risposte debbano essere approfondite, o meno, NON inserirò gli approfondimenti. (Tra parentesi sono contenuti commenti e riflessioni della Vostra Nonna Rosa).
Cerchiamo di accontentarLo, o -La:
1) COSA SI INTENDE CON PROPORZIONE?
Per proporzione si intende una serie o catena di rapporti uguali. In altre parole una proporzione è una eguaglianza tra più rapporti.
2) FAI UN ESEMPIO CORRETTO DI PROPORZIONE E VERIFICALA
(Non essendo indicato se la proporzione sia numerica o non numerica, rileggiamo la richiesta: "Verificala". Ciò significa che devo applicare la proprietà fondamentale delle proporzioni. Per cui l'esempio deve essere numerico) 12:4=30:10
Applico 12 per 10 = 4 per 30
ossia 120 = 120
Dalla terza domanda in poi le spiegazioni saranno sul prossimo, o prossimi, post.
Una nonna cattivissima me!

martedì 29 aprile 2014

argomenti per una verifica di geometria dei solidi

Gentilissimi, il nostro lettore Gabriele chiede quali possano essere gli argomenti per una verifica di teoria sull'argomento "Geometria dei solidi".
Ecco, in sintesi e NON in modo esaustivo, alcuni dei probabili argomenti:
* concetto di "terza dimensione", o spazio
* piano cartesiano nello spazio
* rette sghembe
* diedro e angoloide
* caratteristiche di un solido: facce, vertici, spigoli
* facce curve, piane, solidi concavi
* solidi regolari:  tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro, icosaedro
* poliedri
* solidi di rotazione
* solidi sovrapposti e solidi incavati
* "Regola delle tre perpendicolari"
* solidi retti e non retti
* altezza di un solido, diagonale di un solido, apotema di un solido
* sviluppo di un solido
* concetto di volume, superficie totale
* prisma e parallelepipedo rettangolo
* piramide
* cilindro
* cono
* formule relative a Volume, area della superficie laterale, area della superficie totale, diagonale del solido, apotema del solido
* rapporto tra peso, volume e peso specifico (P=V x Ps)
* rapporto tra densità, volume e massa (m=Vxd)
Speriamo di essere stata d'aiuto a Gabriele per la Sua verifica.
P.S.: Se vi sono dubbi, oppure richieste, inviate commenti. Se possibile siano relativi alla Matematica. NR

sabato 26 aprile 2014

I 23 problemi di Hilbert

Gentilissimi, dedichiamo il presente post alla lettrice Sara Avigni.
Quali sono i problemi matematici più significativi del secolo scorso?
La risposta è stata data dal matematico Hilbert. Alcuni problemi devono ancora essere risolti. Altri problemi, nella esposizione fornita da Hilbert, sono non chiari o eccessivamente vaghi.
Vi consiglio di leggere, oltre a quanto riportato nel wikilink seguente, anche i relativi approfondimenti.

23 problemi di Hilbert

Buona lettura! NR
(E un ringraziamento a Sara Avigni)

venerdì 25 aprile 2014

esercizi sul volume dei solidi

Gentilissima Papera di Gomma,
ecco le informazioni richieste.
1) Volume del parallelepipedo rettangolo:
pagg. 142-143  ess. 144-145-151-153-
2) Volume dell cubo
pagg. 145-146-147 ess. 200-206-213-222-231
3) Volume del prisma retto
pagg. 150-151-152-153 ess. 273-274-275-276-283-289-293
4) Volume della piramide retta
pagg. 160-161 ess. 364-374-377-384-391
5) Volume del cilindro retto
pagg. 222-223 ess. 27-28-55
6) Volume del cono retto
pagg. 230-231 ess. 123-124-126-127-131

Penso possano essere sufficienti, non credi? NR

un prototipo di stampante "solida"

Gentilissimi,
come è possibile stampare un cubo?
EccoVi un simpatico video su una futura stampante 3D-4D.
Buona visione e buona lettura! NR

sviluppo di un cubo


applicazione dei teoremi di Euclide ai solidi

Gentilissimi,
il Mediatore posticipato ha chiesto quali possano essere le connessioni tra solidi e teoremi di Euclide.
Proviamo a rispondere. Eviterei, per quanto possibile, i casi non semplici. Mi limiterei ai solidi di rotazione.
In particolare provate a raffigurare un triangolo rettangolo. Disegnatelo avente per base l’ipotenusa. Tracciate, per Vostra comodità, l’altezza relativa all’ipotenusa.
Fate ruotare, in maniera completa, il triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa. Otterrete un “doppiocono”.
Chiamiamo C1 il cono formatosi a sinistra della Vostra figura, e C2 il cono formatosi a destra.
Per calcolare il volume del doppiocono dovremo trovare, e sommare, i volumi di C1 e C2.
V cono = A cerchio di base x h cono : 3    u3
A cerchio = r 2 π u 2
Per ciascuno dei due coni, osservando la figura, possiamo dire che:
·        Il raggio del cerchio di base corrisponde all’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo di partenza
·        L’altezza di ciascun cono corrisponde alla rispettiva proiezione del cateto, di destra o di sinistra, del triangolo di partenza
·        L’apotema di ciascun cono corrisponde al rispettivo cateto
A questo punto è facilmente comprensibile che, in molte occasioni, si debba applicare uno dei teoremi di Euclide.
Ripassiamo velocemente, e, forse, in modo eccessivamente semplificato:
PER IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
quadrato del cateto 1 = proiezione di quel cateto x ipotenusa
quadrato del cateto 2 = proiezione di quel cateto x ipotenusa
PER IL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa = proiezione del cateto 1 x proiezione del cateto 2
Altre formule che possono, in qualche occasione, essere utili sono le seguenti:
ipotenusa x altezza relativa = cateto 1 x cateto 2
TEOREMA DI PITAGORA
Quadrato dell’ipotenusa = quadrato del cateto 1 + quadrato del cateto 2
Ed ora, a gentile richiesta, un piccolo problema:
Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa che misura 39 cm. Uno dei cateti misura 15 cm. Calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare, in maniera completa di 360°, il triangolo attorno alla ipotenusa. Approssima il risultato ai centesimi.


giovedì 24 aprile 2014

un problema sul tronco di cono

Gentilissimi, il solerte Nicola ha richiesto un problema sul tronco di cono.
Proviamo a risolvere il seguente:

Un cono retto ha l'altezza che misura 84 cm. Il raggio di base misura 18 cm. Il solido è tagliato, perpendicolarmente alla altezza, da un piano. Si individua così un cono piccolo sovrastante ad un tronco di cono. L'altezza del cono minore misura 28 cm. Calcola il volume del tronco di cono.

DATI
cono retto=dato relazionale
h cono maggiore=84 cm
r=18 cm
perpendicolarmente=d.r.
h cono minore=28 cm
? volume tronco di cono=  ..............  centimetri cubici cc

Scriviamo la formula per trovare il volume del cono

V cono = A cerchio x h cono : 3 cc
A cerchio=rxrxpi greco cmq

Calcoliamo, per differenza, il volume del tronco di cono

V tronco di cono = V cono maggiore - V cono minore cc

Area cerchio = 18x18xpi greco cmq
approssimiamo pi greco a 3,14
Area cerchio = 1017 cmq

V cono maggiore=1017x84:3 cc= 28476 cc (circa)

Ora dobbiamo trovare il raggio del cerchio di base del cono minore.
Se rappresentiamo graficamente il cono di partenza, possiamo notare che si individuano, in seguito al "taglio" effettuato col piano nel testo, due triangoli rettangoli simili.
Un triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono maggiore e il raggio di base, e, come ipotenusa, l'apotema del cono maggiore. Il secondo triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono minore e il suo raggio di base, mentre per ipotenusa ha il suo apotema.
Indichiamo con rm il raggio di base del cono minore e con rM il raggio di base del cono maggiore. Analogamente, con la lettera m indichiamo quanto riferibile al cono minore. Con la lettera M quanto riferibile all cono maggiore.
Ripassando i rapporti di similitudine, possiamo individuare una catena di rapporti.

rm : rM = hm : hM = am : aM

x : 18 = 28 : 84

risolviamo la proporzione

84 x = 504

x = 6 cm

A questo punto calcoliamo il volume del cono minore, approssimando pi greco come sopra scritto

V cono m = (6 x 6 x 3,14) x 28 : 3 cc = 1055 cc (circa)

Otterremo, con discreta approssimazione, il volume del tronco di cono:

V tronco cono = V cono M - V cono m = 28476 - 1055 = 27421 cc (circa)

Provate Voi, ora, con le seguenti misure:

altezza cono maggiore = 56 cm
altezza tronco di cono = 16 cm
raggio cono maggiore = 70 cm
? Volume tronco di cono

Buon lavoro! NR

mercoledì 23 aprile 2014

apotema dei solidi

Gentilissimi, cosa si intende con “apotema di un solido”?
La risposta è semplice, in apparenza: “l’altezza delle facce laterali del solido”.
Questa risposta, tuttavia, lascia sottintese molte spiegazioni. Andiamo con ordine (il solito ordine disordinato della Vostra nonna preferita).
Sapete, certamente, che i solidi possono essere, semplificando, classificati in: poliedri; solidi di rotazione; solidi con facce “miste”, ossia in parte con “facce curve” e in parte con facce piane.
I poliedri possono essere classificati come “retti” o “non retti”. Nel primo caso l’altezza del solido, ossia la perpendicolare al poligono di base, è anche lo spigolo laterale del solido stesso.
I poliedri possono terminare, a volte, con un angoloide. Per angoloide si intende una parte di spazio delimitata da facce piane convergenti in un solo punto, detto vertice del solido. L’angoloide è un “angolo solido”, per così dire.
EccoVi, di seguito, la definizione da wikipedia:

“ […] nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, ladistanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.
Consideriamo ora poliedri con un vertice opposto al poligono di base. Possiamo definire tali poliedri come “piramidi”.

Se la base della piramide fosse un poligono regolare, come, ad esempio, un pentagono regolare, oppure un esagono regolare, allora tutte le facce laterali della piramide, nel caso in cui essa fosse, appunto, retta, sarebbero congruenti tra loro.
Se sviluppiamo le facce di tale piramide, noteremmo che essa ha un numero di facce laterali uguale al numero di lati del poligono di base. Per calcolare l’Area della superficie laterale di questa piramide dovremmo conoscere l’altezza di queste facce laterali, ossia il già citato “apotema del solido”.
Per analogia, consideriamo un cono retto. Non potremmo, giustamente, parlare di “poligono” di base, in quanto la base è un cerchio.
Sviluppiamo, comunque, il cono. La superficie laterale sarà data da un settore circolare. In tal caso “l’altezza” del settore circolare, ossia “l’altezza” della faccia laterale sarà data dal raggio del settore circolare ottenuto. Per “apotema”, nel cono, intendiamo così il raggio del settore circolare ottenuto dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono retto.
Un poco complicato, nevvero?
Ora Vi lascio alle formule relative alle aree delle superfici laterali della piramide retta e del cono:
Asl pir = (2pxas):2 = pxas u2
Con as: apotema del solido
Area della superficie laterale della piramide = perimetro del poligono di base moltiplicato per l’apotema della piramide. Il prodotto ottenuto è diviso a metà.
Ecco la figura relativa allìapotema di una piramide a base pentagonale.

Per il cono:
Asl cono = Cxacono:2=2πrxacono=a conoxrxπ u 2
Area della superficie laterale del cono = Circonferenza di base per apotema del cono diviso 2.
Per trovare l’apotema del cono si deve applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo, ovviamente. Il triangolo rettangolo da considerare ha per vertici: il centro del cerchio di base; un punto sulla stessa circonferenza; il vertice del cono. I due cateti saranno il raggio di base e l’altezza del cono, mentre l’ipotenusa sarà data dal segmento che unisce il vertice della piramide ad un punto qualsiasi della circonferenza di base. EccoVi la formula relativa:
a cono = √(r 2 + h cono 2) u

EccoVi l'immagine relativa all'apotema del cono retto.

Per quanto riguarda la piramide si tratta di individuare, di volta in volta, analogamente, il triangolo rettangolo a cui applicare convenientemente il teorema di Pitagora.
Per tale motivo è sempre opportuno rappresentare graficamente, sul foglio di lavoro, il triangolo rettangolo considerato, evidentemente indicandone i vertici. È ovvio che i vertici di tale triangolo siano punti della piramide, da rappresentare anch’essa in maniera opportuna.
La formula da applicare è differente da figura a figura, da piramide a piramide, in stretta dipendenza dal poligono base della piramide. Esiste una formula applicabile per i poligoni regolari. Tale formula prende in considerazione l’apotema del poligono di base. Appare evidente che si generi non poca confusione tra “apotema del poligono di base” e “apotema della piramide”.
Per gli amanti degli scioglilingua:
“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base regolare è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del poligono di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta”.
Una volta era considerato sufficientemente semplice imparare l’enunciato della formula per l’apotema della piramide retta a base quadrata. Per gli amanti del vintage, rieccola:
“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base quadrata è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del quadrato di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta a base quadrata”.
Forse fashion, vero vintage!
NR, poco fashion e molto vintage


lunedì 21 aprile 2014

tronco di cono

Gentilissimi, colgo l’occasione per rispondere al Solerte Nicola.
Faccio pure i miei complimenti alla qualificata alla competizione nazionale della Università Bocconi di Milano. Come saprete si tratta di giochi matematici. Se Vi sembra interessante, informate le Vostre nonne preferite. Magari per il prossimo anno scolastico. Per questo anno si terranno il 10 maggio 2014 a Milano. In bocca al lupo a Contenta Lanciacorsafuoristradainautomobile, per gli amici, e per fortuna, detta CL, 150, oppure BG, presumibilmente di Bergamo.
Cosìè un tronco di cono? Provate ad immaginare un trapezio rettangolo. Ora fate ruotare, nello spazio, il poligono attorno all’altezza. Otterrete un tronco di cono.
Provate a visualizzare un cono retto, per semplicità, con vertice verso l’alto. Il cono si trova, anche, facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad un cateto. Chiamiamo, per comodità, tale cono di partenza C1. Ora dividete il cono in due parti, mediante un piano parallelo alla base. Ecco che tale piano suddividerà il cono in due solidi: un cono comprendente il vertice, ovviamente con un volume minore del cono di partenza (C2), e un altro solido, comprendente il cerchio di base. Tale solido è detto, appunto, tronco di cono.
Il volume del tronco di cono si trova sottraendo il volume del cono C2 dal volume del cono di partenza C1.
Vtc = VC1 – VC2 u 3
EccoVi l’immagine relativa.


E, poiché siamo nelle vacanze pasquali, eccoVi altre immagini.


Il basamento dell'uovo di cioccolata è proprio un tronco di cono.
Anche se, sicuramente, avrete con Voi quelli di plastica.


Buona Pasqua! NR