apotema dei solidi

Gentilissimi, cosa si intende con “apotema di un solido”?

La risposta è semplice, in apparenza: “l’altezza delle facce laterali del solido”.

Questa risposta, tuttavia, lascia sottintese molte spiegazioni. Andiamo con ordine (il solito ordine disordinato della Vostra nonna preferita).

Sapete, certamente, che i solidi possono essere, semplificando, classificati in: poliedri; solidi di rotazione; solidi con facce “miste”, ossia in parte con “facce curve” e in parte con facce piane.

I poliedri possono essere classificati come “retti” o “non retti”. Nel primo caso l’altezza del solido, ossia la perpendicolare al poligono di base, è anche lo spigolo laterale del solido stesso.

I poliedri possono terminare, a volte, con un angoloide. Per angoloide si intende una parte di spazio delimitata da facce piane convergenti in un solo punto, detto vertice del solido. L’angoloide è un “angolo solido”, per così dire.

EccoVi, di seguito, la definizione da wikipedia:

“ […] nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, ladistanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.”

Consideriamo ora poliedri con un vertice opposto al poligono di base. Possiamo definire tali poliedri come “piramidi”.

Se la base della piramide fosse un poligono regolare, come, ad esempio, un pentagono regolare, oppure un esagono regolare, allora tutte le facce laterali della piramide, nel caso in cui essa fosse, appunto, retta, sarebbero congruenti tra loro.

Se sviluppiamo le facce di tale piramide, noteremmo che essa ha un numero di facce laterali uguale al numero di lati del poligono di base. Per calcolare l’Area della superficie laterale di questa piramide dovremmo conoscere l’altezza di queste facce laterali, ossia il già citato “apotema del solido”.

Per analogia, consideriamo un cono retto. Non potremmo, giustamente, parlare di “poligono” di base, in quanto la base è un cerchio.

Sviluppiamo, comunque, il cono. La superficie laterale sarà data da un settore circolare. In tal caso “l’altezza” del settore circolare, ossia “l’altezza” della faccia laterale sarà data dal raggio del settore circolare ottenuto. Per “apotema”, nel cono, intendiamo così il raggio del settore circolare ottenuto dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono retto.

Un poco complicato, nevvero?

Ora Vi lascio alle formule relative alle aree delle superfici laterali della piramide retta e del cono:

Asl _pir = (2pxas):2 = pxas u²

Con as: apotema del solido

Area della superficie laterale della piramide = perimetro del poligono di base moltiplicato per l’apotema della piramide. Il prodotto ottenuto è diviso a metà.

Ecco la figura relativa allìapotema di una piramide a base pentagonale.

Per il cono:

Asl _cono = Cxacono:2=2πrxacono=a conoxrxπ u ²

Area della superficie laterale del cono = Circonferenza di base per apotema del cono diviso 2.

Per trovare l’apotema del cono si deve applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo, ovviamente. Il triangolo rettangolo da considerare ha per vertici: il centro del cerchio di base; un punto sulla stessa circonferenza; il vertice del cono. I due cateti saranno il raggio di base e l’altezza del cono, mentre l’ipotenusa sarà data dal segmento che unisce il vertice della piramide ad un punto qualsiasi della circonferenza di base. EccoVi la formula relativa:

a cono = √(r ² + h cono ²) u

EccoVi l'immagine relativa all'apotema del cono retto.

Per quanto riguarda la piramide si tratta di individuare, di volta in volta, analogamente, il triangolo rettangolo a cui applicare convenientemente il teorema di Pitagora.

Per tale motivo è sempre opportuno rappresentare graficamente, sul foglio di lavoro, il triangolo rettangolo considerato, evidentemente indicandone i vertici. È ovvio che i vertici di tale triangolo siano punti della piramide, da rappresentare anch’essa in maniera opportuna.

La formula da applicare è differente da figura a figura, da piramide a piramide, in stretta dipendenza dal poligono base della piramide. Esiste una formula applicabile per i poligoni regolari. Tale formula prende in considerazione l’apotema del poligono di base. Appare evidente che si generi non poca confusione tra “apotema del poligono di base” e “apotema della piramide”.

Per gli amanti degli scioglilingua:

“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base regolare è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del poligono di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta”.

Una volta era considerato sufficientemente semplice imparare l’enunciato della formula per l’apotema della piramide retta a base quadrata. Per gli amanti del vintage, rieccola:

“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base quadrata è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del quadrato di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta a base quadrata”.

Forse fashion, vero vintage!

NR, poco fashion e molto vintage