applicazione dei teoremi di Euclide ai solidi

Gentilissimi,

il Mediatore posticipato ha chiesto quali possano essere le connessioni tra solidi e teoremi di Euclide.

Proviamo a rispondere. Eviterei, per quanto possibile, i casi non semplici. Mi limiterei ai solidi di rotazione.

In particolare provate a raffigurare un triangolo rettangolo. Disegnatelo avente per base l’ipotenusa. Tracciate, per Vostra comodità, l’altezza relativa all’ipotenusa.

Fate ruotare, in maniera completa, il triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa. Otterrete un “doppiocono”.

Chiamiamo C1 il cono formatosi a sinistra della Vostra figura, e C2 il cono formatosi a destra.

Per calcolare il volume del doppiocono dovremo trovare, e sommare, i volumi di C1 e C2.

V cono = A cerchio di base x h cono : 3    u³

A cerchio = r ² π u ²

Per ciascuno dei due coni, osservando la figura, possiamo dire che:

·        Il raggio del cerchio di base corrisponde all’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo di partenza

·        L’altezza di ciascun cono corrisponde alla rispettiva proiezione del cateto, di destra o di sinistra, del triangolo di partenza

·        L’apotema di ciascun cono corrisponde al rispettivo cateto

A questo punto è facilmente comprensibile che, in molte occasioni, si debba applicare uno dei teoremi di Euclide.

Ripassiamo velocemente, e, forse, in modo eccessivamente semplificato:

PER IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

quadrato del cateto 1 = proiezione di quel cateto x ipotenusa

quadrato del cateto 2 = proiezione di quel cateto x ipotenusa

PER IL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa = proiezione del cateto 1 x proiezione del cateto 2

Altre formule che possono, in qualche occasione, essere utili sono le seguenti:

ipotenusa x altezza relativa = cateto 1 x cateto 2

TEOREMA DI PITAGORA

Quadrato dell’ipotenusa = quadrato del cateto 1 + quadrato del cateto 2

Ed ora, a gentile richiesta, un piccolo problema:

Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa che misura 39 cm. Uno dei cateti misura 15 cm. Calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare, in maniera completa di 360°, il triangolo attorno alla ipotenusa. Approssima il risultato ai centesimi.