un problema sul tronco di cono

Gentilissimi, il solerte Nicola ha richiesto un problema sul tronco di cono.
Proviamo a risolvere il seguente:

Un cono retto ha l'altezza che misura 84 cm. Il raggio di base misura 18 cm. Il solido è tagliato, perpendicolarmente alla altezza, da un piano. Si individua così un cono piccolo sovrastante ad un tronco di cono. L'altezza del cono minore misura 28 cm. Calcola il volume del tronco di cono.

DATI
cono retto=dato relazionale
h cono maggiore=84 cm
r=18 cm
perpendicolarmente=d.r.
h cono minore=28 cm
? volume tronco di cono=  ..............  centimetri cubici cc

Scriviamo la formula per trovare il volume del cono

V cono = A cerchio x h cono : 3 cc
A cerchio=rxrxpi greco cmq

Calcoliamo, per differenza, il volume del tronco di cono

V tronco di cono = V cono maggiore - V cono minore cc

Area cerchio = 18x18xpi greco cmq
approssimiamo pi greco a 3,14
Area cerchio = 1017 cmq

V cono maggiore=1017x84:3 cc= 28476 cc (circa)

Ora dobbiamo trovare il raggio del cerchio di base del cono minore.
Se rappresentiamo graficamente il cono di partenza, possiamo notare che si individuano, in seguito al "taglio" effettuato col piano nel testo, due triangoli rettangoli simili.
Un triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono maggiore e il raggio di base, e, come ipotenusa, l'apotema del cono maggiore. Il secondo triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono minore e il suo raggio di base, mentre per ipotenusa ha il suo apotema.
Indichiamo con rm il raggio di base del cono minore e con rM il raggio di base del cono maggiore. Analogamente, con la lettera m indichiamo quanto riferibile al cono minore. Con la lettera M quanto riferibile all cono maggiore.
Ripassando i rapporti di similitudine, possiamo individuare una catena di rapporti.

rm : rM = hm : hM = am : aM

x : 18 = 28 : 84

risolviamo la proporzione

84 x = 504

x = 6 cm

A questo punto calcoliamo il volume del cono minore, approssimando pi greco come sopra scritto

V cono m = (6 x 6 x 3,14) x 28 : 3 cc = 1055 cc (circa)

Otterremo, con discreta approssimazione, il volume del tronco di cono:

V tronco cono = V cono M - V cono m = 28476 - 1055 = 27421 cc (circa)

Provate Voi, ora, con le seguenti misure:

altezza cono maggiore = 56 cm
altezza tronco di cono = 16 cm
raggio cono maggiore = 70 cm
? Volume tronco di cono

Buon lavoro! NR