numeri divisibili per 11 (cl.1) - un trucco da poco

Gentilissime e gentilissimi,

come possiamo “trasformare” un numero NON divisibile per 11 in un numero che si possa dividere per 11?

Ovviamente con “un trucco”.

Facciamo un esempio:

consideriamo il numero 39874903

·         Trascriviamo il numero, separandone le cifre:

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Evidenziamo le cifre in “posizione dispari”, ossia unità, centinaia, decine di migliaia, …

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Evidenziamo, in altro modo, le cifre in “posizione pari”, ossia decine, unità di migliaia, centinaia di migliaia, …

3    9     8    7    4    9    0     3

·         Sommiamo le cifre evidenziate in rosso:

9 + 7 + 9 + 3 = 28

·         Sommiamo le cifre evidenziate in verde:

3 + 8 + 4 + 0 = 15

·         Consideriamo quale delle due somme così trovate sia maggiore. In questo caso 28 > 15. Effettuiamo la sottrazione possibile in N:

28 – 15 = 13

·         Consideriamo ora la differenza così trovata. In questo caso abbiamo ottenuto un numero che non è NÉ ZERO (0) E, NEPPURE, UN MULTIPLO DI 11 (M(11)). Se avviene questo, allora significa che il numero di partenza NON E’ DIVISIBILE PER 11.

·         Come facciamo a “trasformare” il numero di partenza in un numero divisibile per 11?

Dovremmo fare in modo che il numero in verde, ossia il sottraendo, sia un poco “più grande”. Di quanto dovremmo aumentare il numero verde?

Ragioniamo: se ho ottenuto una differenza di 13, e dovevamo ottenere una differenza di 11, significa che devo aumentare di 2!

Se così fosse otterremmo 28-17=11

Come volevamo ad inizio procedimento!

Si tratta di “aggiungere” una cifra 2 tra quelle in verde! Ecco nuovamente il numero di partenza:

3    9     8    7    4    9    0     3

Dove possiamo “aggiungere” una cifra in verde? In questo caso, sicuramente, NON a sinistra. Altrimenti ci troveremmo con due cifre in verde consecutive!

Se, invece, “aggiungiamo” la cifra 2 a destra, avremmo rispettato il procedimento. Scriviamo il 2 a destra, come vedete sotto:

3    9     8    7    4    9    0     3    2

·         Ora, se volete, potete ricontrollare per conto Vostro!

NR, Nonna Ragionante, almeno per ora!

correzione compiti - numeri divisibili per 3; 3 exp 2; (2x3)

Gentilissime e gentilissimi,

ancora il Nostro, e Vostro, Suresh ha inviato per correzione altri esercizi.

La Nonna, oltre a lavorare a punto-croce, che non è “giocare a tris”, proverà a correggere, per quanto possibile.

La consegna era la seguente, valida per tutti gli esercizi:

Scrivi 5 numeri con 4 cifre diverse, che siano divisibili per …

Ovviamente, per i numeri divisibili per 100, …ooops (2 ² x 5 ²), ciò non è possibile.

Vediamo gli elaborati dei nipotini:

1) 

 

Direi nulla da eccepire! Nice work! I due elaborati sono corretti!

2) 

In questo elaborato si nota un errore molto comune tra i giovanotti.

Tra il numero scelto, corretto in quasi tutti i casi, e la costruzione del Mod. si nota il segno “=”.

Questo significherebbe che, come è scritto, 3465 = 18

Ovviamente questo è un errore. Probabilmente il nipotino voleva indicare altro.

Come avrebbe dovuto scrivere?

3465                                      Mod.  3+4+6+5=18         Mod. 1+8=9        Mod. (3465) = [9]

Nella consegna è scritto “numeri dispari divisibili per 9”. Ma 9 NON è un numero primo! Bisognava scrivere “divisibili per 3 ²”.

Si nota, inoltre, una imprecisione: il secondo numero scelto, tra quelli divisibili per 6, sarebbe stato mooolto meglio scrivere (2x3), è 5258. Il calcolo del Mod., tuttavia, utilizza il numero corretto 5238. Probabilmente un errore di copiatura o un refuso.

3) 

Vediamo un poco!

A ) I 5 numeri divisibili per 3: “un numero è divisibile per 3 se ha mod. [3]; [6]; [9]”.

Quindi, ogni volta, dobbiamo pure calcolare il mod.!

Per il numero 7529         mod.  7+5+2+9=23       2+3=5    Mod. (7529) = [5] 

Quindi NON è divisibile per 3

Per il numero 3265      mod.   3+2+6+5= 16       1+6=7   Mod. (3265) = [7] 

Quindi NON è divisibile per 3

Per il numero 9871      mod.     9+8+7+1=26     2+6=8     Mod.(9871) = [8]  

Quindi NON è divisibile per 3

B) I 5 numeri divisibili per 9 (Aaaargh! Si scrive 3 ²!): 

“un numero è divisibile per 3 ² se ha Mod. [9]”

Per il numero 4683     mod. 4+6+8+3=21    2+1=3    Mod.(4683) = [3]  

Quindi NON è divisibile per 3 ²

Per il numero 1257     mod.   1+2+5+7=15   1+5=6   Mod.(1257) = [6] 

Quindi NON è divisibile per 3 ²

Per il numero 5371    mod.  5+3+7+1=16   1+6=7   Mod.(5371) = [7] 

Quindi NON è divisibile per 3 ²

Per il numero 3689   mod.   3+6+8+9=26   2+6=8   Mod.(3689) = [8] 

Quindi NON è divisibile per 3 ²

Per il numero 7365    mod.  7+3+6+5=21    2+1=3   Mod.(7365) = [3] 

Quindi NON è divisibile per 3 ²

C) un’unica imprecisione. NON si deve scrivere  “divisibili per 6”, in quanto 6 NON è un numero primo.

Moooolto meglio scrivere “divisibili per (2x3)”.

4) 

 - numeri divisibili per 3: una sola imprecisione: in TUTTI i numeri le 4 cifre dovevano essere differenti. Nel numero 3333, ovviamente, non è stata rispettata tale richiesta.

- numeri divisibili per 9!!!! Ma non ho già detto più volte che 9 NON è un numero primo?

Si deve scrivere “3 ² “.

Cosa dire? Diamo per scontato che il primo numero sia 5175 e non 5125, visti i numeri successivi. Ma le 4 cifre dovevano essere diverse. Per il resto sono tutti numeri divisibili per 3 ² . (Però con poca fantasia!)

-          numeri divisibili per 6!!!! Ma non si doveva scrivere (2x3)? 6 NON è un numero primo!

Se un numero è divisibile per (2x3) soddisferà ad entrambi i criteri, sia del 2, cioè sarà un numero pari, sia del 3, ossia avrà mod. o 3 o 6 o 9. Nessuno dei numeri scritti è pari! Quindi nessuno sarà divisibile per (2x3)! Oltre a ciò nello stesso numero non tutte le cifre sono diverse! Una Nonna direbbe: “Pallino rosso!”, ossia, traduco dal nonnese, “esercizio da rifare”.

Per evitare post eccessivamente lunghi, per ora, e solo per ora, mi fermo qui!

NR, Nonna ripetitiva

lettura di grafici da Sars-CoV-2 (una opinione "nonnesca")

Gentilissime e gentilissimi,

proviamo oggi ad analizzare alcuni grafici relativi al contagio da Sars-CoV-2.

Ecco il primo:

Come potete notare, con esclusione del giorno 10 marzo scorso, in cui non erano pervenuti dati da alcune zone, la curva si presenta come una curva di frequenza cumulativa.

Importante, nelle curve di frequenza cumulativa, è il punto di flesso.

Semplificando, si tratta del punto sulla curva in cui la curva stessa "cambia direzione".

Da calcoli che ognuno di noi può effettuare, utilizzando i dati reali consultabili pure on line sul contagio in Italia, il punto di flesso è stato già raggiunto. Secondo quanto detto da alcuni quotidiani sabato scorso.

Alcuni calcoli indicano una data invece relativa al 18 marzo scorso.

Altre ipotesi spostano al 28 marzo prossimo tale “picco”, come è impropriamente detto tale punto.

Secondo calcoli effettuati da matematici, in realtà, più propriamente, la curva del contagio sarebbe una curva definita “polinomiale”. Si tratta di una curva comunque, sempre semplificando, basata sulle potenze.

Si associa, ad ogni giorno, un numero intero, partendo da 0 e “contando in avanti”. Tale numero si eleva per un certo esponente. L’esponente, sempre secondo calcoli effettuati da matematici, è, nel caso attuale, di poco superiore a 3.

Analizzando il grafico sembrerebbe che la curva sia costantemente in ascesa. Tuttavia modelli matematici sulla propagazione dei virus concordano sul fatto che tale curva, nella realtà, si “appiattisca”, diventando una curva “a sigma”, come nella parte “alta” di quella sottostante.  

Nel grafico sottostante, invece, potete osservare la curva "reale":

Tale “appiattimento” dovrebbe durare come il periodo di incubazione del virus + 1 giorno. Nel nostro caso, quindi 14+1= 15 giorni.

Successivamente, solo dopo questo periodo di “appiattimento”, la curva dovrebbe “scendere”.

Ecco, in rosso, come dovrebbe essere in futuro tale curva.

In molti casi, tuttavia, il grafico presentato è quello sottostante:

Si tratta di una curva gaussiana, come ben sapete.

Se questo grafico fosse corretto, dal giorno successivo al massimo della curva, il famoso “picco” delle interviste tv, ci sarebbe immediatamente un calo del numero di contagiati.

Come potete notare dal grafico “a campana” presentato, la curva è asimmetrica verso sinistra, quindi il trend dovrebbe essere negativo.

Se avete seguito le notizie in questi ultimi giorni di marzo, l’analisi dello stesso grafico fornisce, secondo i pareri della stampa, un trend positivo.

Quindi sorge un dubbio: come è possibile che lo stesso grafico dia trend negativo e trend positivo per lo stesso fenomeno?

A mio avviso, rispondere a questo dubbio è semplice: il grafico da considerare è quello cumulativo. 

Sempre a mio avviso, il punto di flesso è già stato raggiunto mercoledì 18 marzo (sperando di non essermi sbagliato!), e vedremo i risultati in positivo tra qualche altro giorno.

Ciò che notiamo attualmente, e ciò che potete considerare pure Voi, è un semplice numero:

calcolate il rapporto tra mortalità del giorno e nuovi contagi dello stesso giorno.

Da mercoledì 18 scorso, escludendo un giorno in cui i “calcoli non tornano”, il rapporto si sta mantenendo compreso tra 11% e 20%. Questo range dovrebbe mantenersi per altri 7-8 giorni circa. Ovviamente sperando che siano di meno.

Successivamente, salvo altri “hot spot” di contagio, la curva dovrebbe scendere, poco per volta.

Sino a giungere, tuttavia non così repentinamente come nella crescita, un nuovo punto di flesso “discendente”.

Solo a quel punto, e dopo altri 14-15 giorni di “aspettativa”, potremo dire che questa pandemia si sta esaurendo.

Solo quando, per almeno altri 14 giorni consecutivi, non ci saranno nuovi contagi, e solo allora, questo difficile momento sarà un triste ricordo. Da non dimenticare.

“In matematica si può sbagliare!”, diceva una Nonna!

Spero sinceramente che il contagio si esaurisca ben prima di quanto ipotizzato.

Mai come in questo caso, sempre citando una Nonna, “il procedimento vale più del risultato”.

Seguite le corrette procedure, anche in questo caso. E, solo allora, daremo la risposta corretta: responsabilità!

Etimologicamente: “impegnarsi a dare una risposta!”

ImpegnateVi a dare la Vostra risposta, non solo il risultato!

Siate veramente responsabili!

Tutte le fotografie inserite, salvo miei errori o sviste, sono di pubblico dominio.

Mi scuso anticipatamente se Vi fossero mie negligenze in merito. NR

P.S.: Tutte le considerazioni precedenti NON sono che opinioni personali e un modo per mostrare come, in Statistica, in particolare, si possano pure prendere abbagli (vedi exit poll dei migliori sondaggisti, italiani e non). NR

NR, Nonna Rosa

numeri divisibili per 2 - correzione (1)

Gentilissime e gentilissimi,
il futuro fidanzato di Ludmilla, a quanto dice Lei, ma, probabilmente, non Lui, ha inviato repentinamente una correzione dell'es. proposto in un post precedente.

Che dire? Nulla da eccepire! Nice work!
Ecco, per la gioia quantomeno di Ludmilla, l'elaborato.

Corretto.  Bel lavoro. E, se qualche lettore vede, o vedrà, prima o poi, Ludmilla, me la saluti, per favore.
NR, Nonna Repentina

corr. esercizi criteri di divisibilità

Gentilissimi e gentilissime,
una nonna non fa in tempo a riposarsi che, subito dopo, le vengono inviati dei compiti a casa.
Ma si può trattare così una povera nonna indifesa?
("Indifesa"? Tralasciamo il fatto che sono cintura gialla di judo..., "che è meglio", come direbbe qualcuno!).

Tant'è!

Se non ho mal compreso, si trattava di scrivere numeri di 4 cifre che rispondessero ai criteri di divisibilità "Ultima cifra".
Ecco quanto ha prodotto una Reichenbachiana (ma nickname meno stravaganti li potete usare? Oppure no?):

Direi nulla da correggere! Complimenti!

NR, Nonna Reichenbachiana (e, se non sapete chi è, effettuate una bella ricerca su Internet! Non credo sia indicato, ma Reichenbach era al Giardino di infanzia con Questa Nonna!)

correzione divisori D(40); D(23) (cl. 1)

Gentilissime e gentilissimi,

continuiamo la correzione degli esercizi proposti da Suresh.

Questa volta Vi propongo gli esercizi sui divisori dei nipotini del vecchio Sur!

Non “i divisori dei nipotini”, ma “gli esercizi sui divisori”…

Trascriviamo meglio la frase, prima che la ASINA (ASSOCIAZIONE SALVAGUARDIA ITALIANA NIPOTINI AUTONOMI) divenga la Vostra nonna.

Rifaccio (2):

Questa volta Vi propongo gli esercizi sui divisori svolti dai nipotini …

Naah, neppure così! Sono svolti i divisori o i nipotini? E gli esercizi?

Rifaccio (3):

Questa volta Vi propongo gli esercizi, relativi ai divisori, svolti dai nipotini di Suresh.

Già meglio!

Ecco come procedono i nipotini:

1)       

2)       

3)       

4)        

Ecco le correzioni dovute:

1)      Un doppio errore, moooolto grave! I DIVISORI SONO FINITI! Quindi, perché sono presenti i tre puntini di sospensione? E, tra i divisori di 40, ossia D(40), per quale motivo non è presente il numero 8? Direi, citando una Nonna, “pallino rosso!”. Che, tradotto dal nonnese, significa: “esercizio da rifare”!

2)      … E dove sono finiti i D(23)? Certamente 23 è un numero primo! Quindi si devono scrivere, nel modo corretto, SOLO 1 e 23. Non vedo la scrittura D(23) = [(1); (23)]

3)      Nulla da eccepire! Complimenti!

4)      Un errore di scrittura: “Divisori impropri”. Non vedo D(23). Magari sarà in un’altra pagina…

Anche per questo post è tutto!

NR, Nonna “Rifaccio” (4)

NUMERI DIVISIBILI PER 2 (cl. 1)

Gentilissime e gentilissimi,

cosa sono i criteri di divisibilità?

Ma, soprattutto,: cosa significa “criterio”?

Un CRITERIO è una  REGOLA PER DISTINGUERE, solitamente in modo oggettivo, tra due o più elementi di un insieme.

Conoscerete, sicuramente, il gioco del “SI-NO”. Un giocatore pensa a un oggetto. Gli altri partecipanti possono solo formulare domande la cui risposta possa essere, appunto, solo SI o NO!

Lo stesso procedimento, quasi sempre, è utilizzato per la classificazione degli esseri viventi.

In questo caso non si parla di “criterio”, ma di “chiave dicotomica”.

Un criterio di divisibilità, quindi, è una regola per distinguere i numeri presenti in una certa tabellina.

O, meglio, dato un certo numero, possiamo sapere se è presente in una certa tabellina, oppure no.

Solitamente sono presentati i criteri di divisibilità suddivisi in gruppi:

1)      ULTIMA CIFRA

2)      ULTIME CIFRE

3)      MOD.

4)      “SOMMA ALTERNA”

Nel gruppo 1) si prende in considerazione SOLO l’ultima cifra del numero dato

Nel gruppo 2) si prendono in considerazione LE ultime cifre del numero di partenza (solitamente le ultime due cifre)

Nel gruppo 3) si SOMMANO tutte le cifre del numero

Del gruppo 4) Vi mostrerò un esempio in un post futuro.

GRUPPO 1

Proviamo a considerare le tabelline. Osserviamo la tabellina del 2, del 4 del 6 dell’8, del 10…

Cos’hanno in comune?

Certo! Sono tutte tabelline di numeri pari. Infatti tutti i numeri pari hanno tabelline che finiscono sempre con una cifra pari.

Le cifre pari sono: 0 – 2 – 4 – 6 – 8

Cosa possiamo quindi affermare?

Se un numero è pari, SICURAMENTE, sarà divisibile per un numero pari!

Il numero pari “CON TABELLINA” è il numero 2. Per questo, tutti i numeri pari sono sicuramente divisibili per 2.

Ovviamente NON contano i numeri decimali, gli irrazionali, …

Stiamo parlando ESCLUSIVAMENTE dei numeri naturali, o, al più, degli interi Z.

Ecco trovato il primo criterio:

SE UN NUMERO INTERO TERMINA CON LA CIFRA 0-2-4-6-8 SARA’ DIVISIBILE PER 2

Ecco una serie di numeri. Riuscite a trovare quelli divisibili per 2?

477    9284  266     844    1980  8566  8334  7592  2177  2958  274    376    2985

Ed eccoVi una riflessione, ovviamente usando l’alfabeto italiano:

“BASTA DIRA FALSITA’! HO LA NONNA, POVERA ROSA, TROPPO VECCHIA!”

Che ne dite? Sareste capaci di fare altrettanto?

Una nonna ridanciana, NR

UN GIOCO COSTANTE

Gentilissime e gentilissimi,

Vi propongo un piccolo gioco, utilizzato da molti maghi.

Scrivete un numero composto da 4 cifre diverse.

Componente il numero maggiore possibile, ossia scrivete le quattro cifre in ordine decrescente (numero A).

Componete il minor numero possibile, ossia scrivete le stesse quattro cifre in ordine crescente (numero B).

Effettuate la sottrazione (A – B).

Trovate la differenza. Sarà un numero di quattro cifre.

Scrivete il numero maggiore possibile con QUESTE quattro cifre, quelle della differenza.

Scrivete il numero minore possibile, sempre con QUESTE quattro cifre.

Trovate la differenza.

Proseguite con lo stesso metodo con le differenze che otterrete di volta in volta.

Cosa otterrete?

A questo punto fateVi la domanda seguente. Volete conoscere le cose veramente importanti?

“SAPERE E VOLERSI BENE”

NR, una Nonna Riflessiva (o Ramachandrana!)

Correzione divisori (1) - prima parte

Gentilissimi e gentilissime,

proseguiamo con la correzione degli esercizi inviatimi da Suresh.

Gli esercizi chiedevano di trovare TUTTI i divisori di due numeri:

·         Trova i divisori di 40

·         Trova i divisori di 23

Procediamo con ordine. Come sempre, dapprima osserviamo gli esercizi.

Il numero 40 è un NUMERO COMPOSTO, ossia NON PRIMO. Quindi avrà divisori propri.

Il numero 23 E’ un numero primo! Quindi avrà SOLO divisori impropri. Per questo possiamo scrivere che:

D(23) = [(1); (23)]

Ora, per i divisori di 40, DEVO FARMI UNA DOMANDA? La solita!

“In quali tabelline è presente il numero 40?”

Sicuramente nella tabellina di 1 e di se stesso, ossia 40. E poi?

Procediamo con ordine, magari in ordine crescente.

40 è nella tabellina del 2? Certo che sì! È un numero pari!

In quella del 3? Come posso fare, senza usare, per ora, i CRITERI DI DIVISIBILITA’?

Tolgo dal numero 40 il numero 30, che sicuramente è nella tabellina del 3!

40-30 = 10

Considero il numero differenza, ossia 10! Il numero 10 è nella tabellina del 3? NO!

Continuo: è nella tabellina del 4? Certo!

E in quella del 5? Pure!

In quella del 6? No! E neppure in quella del 7!

In quella dell’8? Ovvio che sì!

Nella tabellina del 9? Se non era in quella del 3, come potrebbe essere in quella del 9? Quindi, no!

In quella del 10? Sì!

Proseguiamo con la tabellina dell’11: no!

Del 12? Neppure!

Del 13, no! Del 14? Nemmeno! Del 15? Neanche! 15 è multiplo di 3!

Del 16? Controlliamo: 40 : 16 è una divisione esatta? No! Quindi 16 NON è divisore di 40!

Del 17, no! Del 18, ovviamente no! Del 19? Controlliamo: la divisione 40:19 non è una divisione esatta!

Del 20? Certo!

Siamo arrivati alla metà, “più uno”, se serve! In questo caso NON serve! Infatti abbiamo già stabilito che il numero 3 NON è divisore di 40, quindi anche tutti i suoi multipli non lo saranno.

Possiamo ora scrivere “il risultato”, come dicono i Nipotini!

D(40) = [(1); 2; 4; 5; 8; 10; 20; (40)]

In un prossimo post, la Vostra Nonna inserirà alcuni esercizi dei nipotini!

NR, Nonna Rosa

multipli - una correzione

Gentilissimi e gentilissime,

ho ricevuto un invito per una festa, direttamente dal detentore del record del mondo di cifre decimali del numero di Neper imparate a memoria.

Questo Suresh è un tipo interessante. Davvero! Pensate che sta studiando, sempre a memoria, il maggior numero di cifre decimali di ϖ. La sfida è contro un altro tipo “strano”: Rajveer.

Questi due mi hanno inviato elaborati (io direi “esercizi”, ma, come ho già detto, i due sono “tipi strani”).

Proviamo insieme a correggerli!

Si trattava di trovare i multipli di un numero e i divisori di due altri numeri.

Vediamo insieme:

a)       Trova i multipli di 57

Ecco gli elaborati inviati da Suresh

1 – 

2 – 

Ecco gli elaborati inviati da Rajveer

3 – 

4 – 

5 – 

Ecco, invece, la soluzione della Nonna:

M (57) = [57; 114; 171; …]  

C.A.

57X1 = 57

57X2 = 114

57X3 = 171

…

Effettuiamo le correzioni:

in 1) nessun errore di rilievo; solo una imprecisione (non è stata indicata la celeberrima “colonna ausiliaria”) (C.A.)

in 2) oltre a non avere indicato la C.A., semplice imprecisione, non è chiaro per quale motivo la tabellina è stata continuata sino a 57x5 e non, per esempio, sino a 57x79. È sufficiente sino a 57x3! Forse Suresh non è un nostro affezionato lettore e non ha seguito le indicazioni fornite in post precedente. Errore piuttosto grave, anche se piuttosto comune, è NON aver indicato, con i tre puntini di sospensione, che i MULTIPLI SONO INFINITI! E, poi, perché effettuare i calcoli in colonna? Non è richiesto

in 3) una sola imprecisione: manca un punto e virgola dopo il numero 171

in 4) due piccole imprecisioni: come in 3), manca il punto e virgola dopo il numero 171; come in 1) non è stata indicata la C.A.

in 5) un errore di calcolo (57x2 = 114, e non 124); una piccola imprecisione, come in 3) (manca il punto e virgola dopo il numero 171.

Per ora è tutto!

NR, Nonna Rajveer-fan-sfegatata!

radici e numeri immaginari (cl. 3)

Gentilissimi e gentilissime,
Voi di terza B (mi sono stancata di mettere 3 A!) conoscerete senza dubbio il teorema fondamentale dell'algebra, esposto da Gauss, proprio quello della "curva a campana".
In sintesi, e mi scuso con i veri matematici, il numero di soluzioni, o radici, di una equazione è dato dal grado dell'equazione, ossia dall'esponente maggiore presente nell'incognita dell'equazione considerata.
In altri termini, una radice cubica avrà 3 soluzioni, una radice 17esima avrà 17 soluzioni.
Conoscerete pure il numero immaginario "i".
Sapete che
ixi = (-1)
Dopo aver ripassato come si risolvono le radici con i numeri relativi, cercate di risolvere questo "semplice" esercizio:

Trova le 4 soluzioni della radica quarta di (+1)

NR, Nonna Radicesima

disfide matematiche

Gentilissimi e gentilissime,

forse conoscerete Gerolamo, o Girolamo, Cardano.

È noto per la sua diatriba con un altro, forse più famoso, matematico italiano: Tartaglia (Niccolò Fontana, quello del “Triangolo” che tutti conoscete).

La storia di questa disputa inizia con Scipione del Ferro, un matematico bolognese, che aveva trovato la formula per risolvere alcune equazioni di terzo grado.

Scipione, tuttavia, non pubblicò nulla.

Prima di morire lasciò il suo segreto ad un suo alunno: Antonio Maria del Fiore, o Dal Fiore, noto anche con il nome di Floridus.

Del Fiore sfidò Tartaglia, il più famoso matematico italiano dell’epoca, in una sfida matematica, pensando di poter vincere facilmente. Tartaglia risolse tutti i problemi di Floridus, mentre Floridus non ne risolse neppure uno.

Forse come forma di vendetta, Floridus rivelò la formula a Cardano.

Anche Tartaglia aveva comunicato a Cardano la formula per risolvere le equazioni di terzo grado. Aveva chiesto a Cardano di non divulgare tale formula.

Tartaglia aveva lavorato e trovato un suo metodo per giungere a questa formula, in modo, forse, più completo.

Cardano non mantenne il segreto. Anzi, nel 1545 pubblicò la formula. Fu aiutato, nel suo lavoro, dallo stesso Floridus e da un altro matematico, Ludovico, o Lodovico, Ferrari.

La disputa tra Tartaglia e Cardano durò molti anni. Cardano sostenne che la pubblicazione era avvenuta in quanto un altro matematico, Scipione, appunto, aveva già trovato tale formula.

Anche Ferrari sfidò Tartaglia in una sfida matematica.

Conoscendo la difficoltà nel parlare di Tartaglia, e nominati giudici non propriamente imparziali, Ferrari lanciò una sfida matematica “orale”. In palio c’erano i diritti economici della formula stessa.

Vinse, aiutato dai giudici, Ferrari. A Tartaglia non fu concesso neppure di esporre le proprie tesi e soluzioni.

Tartaglia, amareggiato per la sconfitta, si ritirò dalla vita pubblica.

Forse, questa, è un’ottima trama per la prossima serie su Netflix.

Ritorniamo a Cardano, sicuramente, come amico, poco fidato.

Cardano voleva dividere un segmento di lunghezza 10 unità in due parti, in modo che, moltiplicando la lunghezza delle due parti trovate, si ottenesse 40.

Se dividiamo 10 in due parti uguali, otterremo 25, ossia 5x5.

Cardano utilizzò i numeri complessi, che sono una addizione algebrica tra un numero R e un numero immaginario.

Ottenne, come risultato, che le due parti erano di lunghezza (5 + √(-15)) e (5 - √(-15)).

Applicando la formula risolutiva “Somma per differenza”, otteniamo:

“Quadrato del primo termine meno quadrato del secondo termine”, ossia “quadrato di (5)”, cioè 25, e “quadrato di √(-15)”, ossia (-15).

Da qui:

25 – (-15) = 25 + 15 = 40

c.v.d. Cardano.

Provate Voi:

Dividere un segmento di lunghezza 10 unità in due parti, in modo che il loro prodotto sia 50.

NR, una Nonna Risolutiva

correzione divisori (1)

Gentilissimi e gentilissime,

eccoVi l’esercizio sui divisori di 32, svolto dal buon Jack, come al solito con ottimo intuito.

Un solo appunto: poiché Jack aveva ben compreso che, solo in questo e in pochi altri casi, tutti i divisori erano potenze di 2, perché non esprimere anche (1) come potenza di 2?

Al posto di (1), andrebbe scritto (2 ⁰).

Comunque i complimenti miei e di Tua Nonna.

Ancora una volta nice work, Jack!

NR, Nonna Rosa

statistica - cenni teorici per classi terze - (fine)

Gentilissimi e gentilissime di 3 A, B, o lettera casuale,

proseguiamo con, speriamo, gli ultimi cenni teorici semplici di Statistica.

Questa volta affronteremo, inizialmente, la curva di Gauss.

Iniziamo a chiarire che “curva di Gauss”, o “gaussiana”, “curva a campana”, o “curva con distribuzione di frequenza normale” sono tutti sinonimi.

Curva di Gauss si utilizza preferenzialmente in Matematica (calcolo delle probabilità, per esempio)

Curva a campana, o “ogiva”, si utilizza in ambito giornalistico, divulgativo. A volte è denominata “curva degli errori”

Curva a distribuzione di frequenza è usato in ambito scientifico. Come esempio potremmo indicare la larghezza della conchiglia di una certa specie di Gasteropodi.

Se analizziamo valori variabili entro un certo range, quasi sicuramente, se il numero di dati è elevato, ci troveremmo, come rappresentazione grafica, ad una gaussiana.

Facciamo un esempio intuitivo. Prendiamo i Giochi di atletica e consideriamo TUTTI i 14enni del mondo. Cronometriamo il risultato in una gara sui 60 metri piani. Sicuramente, almeno per ora, non ci sarà nessuno che termina la gara in 2 secondi. E, altrettanto sicuramente, non ci sarà nessuno che terminerà la gara in 4 anni. Evidentemente questi valori, un poco assurdi, possono definire il range dell’indagine.

Intuitivamente possiamo dire che saranno molto pochi i ragazzi che finiranno la gara in 6 secondi. Possiamo pure dire che saranno pochi i ragazzi che termineranno la gara in 10 minuti.

Il maggior numero di ragazzi otterrà valori intermedi. Pochi, i più veloci, finiranno la gara in meno tempo rispetto agli altri.

Il valore più frequente, la moda, come ribadito in un precedente post, sarà un valore intermedio “centrale”.

Ecco come si presenta la curva di Gauss. L’immagine, tratta da Wikipedia, ne mostra alcune sovrapposte nel medesimo grafico. La curva più “caratteristica” è quella in verde.

Terminiamo questi cenni teorici mostrando come si effettua il conteggio in ambito scientifico, in particolare, in petrografia (ma non solo!).

Come potrete intuire, ad ogni valore che si ripresenta dopo il primo si aggiunge, al ”quadrato-crocettato”, una linea, come indicato. Se il “quadrato-crocettato” è completo, conteggio 10.

Vi lascio una nuova indagine statistica.

Rappresentate, mediante tabella, la seguente situazione:

In una classe terza della scuola media, in una verifica di Matematica, gli alunni hanno conseguito le seguenti valutazioni:

6-7-5-9-4-7-7-8-10-7-8-6-5-8-7-8-9-6-6-7

Calcolane le frequenze e le frequenze percentuali. Indica da quanti alunni è composta quella classe, sapendo che erano tutti presenti alla verifica.

Come sempre, se Vi serve, inviate le Vostre risposte mediante commento.

NR, Nonna “rispostosa”

DIVISORI DI UN NUMERO (1) - prima parte

Gentilissimi e gentilissime di prima A, o, come già detto, lettera a scelta,

proseguiamo con Multipli e Divisori.

Per DIVISORE, in questo caso, si intende qualsiasi numero che ha, nella sua tabellina, il numero assegnato.

Molto complicato, davvero.

Semplifichiamo le cose facendo un esempio:

prendiamo come esempio il numero 35.

Il numero 35 si trova nelle tabelline seguenti: 1;5;7;35

Consideriamo 1 e 35, cioè 1 e “se stesso”, come DIVISORI IMPROPRI. 5 e 7 sono DIVISORI PROPRI.

Dobbiamo considerare tutti i numeri NATURALI N, escludendo il numero zero. Ciò si indica con il simbolo

N₀.

N₀ significa “N senza considerare il numero zero”; la cosa divertente, o inquietante, vedete Voi, è che si legge “N CON ZERO”. In altre parole N con zero significa N senza zero.

Vediamo ora come si scrive.

L’esempio precedente è scritto così:

D₍₃₅₎ = [(1); 5; 7; (35)]

I divisori impropri, ossia, ribadiamo, 1 e “se stesso”, sono indicati in parentesi tonde. Tutti i divisori sono in parentesi quadrate.

Come potete notare i divisori di un numero sono finiti.

E come facciamo con numeri “più difficili”?

Ecco! Questo è quello che stanno cercando di capire in tanti: matematici, scienziati, economisti, crittografi, informatici, …

La ricerca dei divisori di un numero intero “grande”, ossia complesso e con molte cifre, è un argomento che riguarda la sicurezza delle banche, o le password che usiamo nei contesti online.

E sul termine “grande” ho chiesto un aiuto alla Nonna di Cappuccetto Rosso. Alla Nonna, non al lupo.

Inoltre, forse inconsapevolmente, in qualche modo, quando stiamo scrivendo un messaggio e compaiono 3,5 o 7 parole di “suggerimento”, stiamo utilizzando una “ricerca dei divisori”, applicata alla messaggeria.

Il discorso è molto complicato.

Uno dei sistemi per facilitare, anche solo di poco, tale ricerca è data dai CRITERI DI DIVISIBILITA’.

Ma di ciò, e di un aneddoto che circola tra noi nonne, tratteremo in un prossimo post.

Per ora Vi lascio un esercizio, in apparenza semplice.

Trovate tutti i divisori di 32.

Buon lavoro! E, al solito, se Vi va, inviate pure come commento i Vostri lavori.

NR, Nonna Rosa.

P.S.: Vi saluta pure la Nonna di Cappuccetto Rosso. NR, Nonna Rinata

multipli di un numero (correzione 1)

Gentilissimi, e gentilissime, evidentemente,
il buon Jack O'Jako ha inviato altre soluzioni relative ai multipli di un numero.
Eccole:

La soluzione è corretta. Noto, tuttavia, una imprecisione e un probabile refuso.
Sotto alla colonna ausiliaria, dopo 53x3 = 159, sono necessari i tre puntini.

Il refuso: la parentesi quadra chiusa sarebbe meglio che fosse dopo "159; ...]"
con una attenzione al punto e virgola dopo tutti i numeri scritti.

Ricapitolando:

M(53) = [53;106;159; ... ]

Grazie mille per l'aiuto. NR, Nonna Ringraziante

statistica per classe terza - cenni teorici (3) e primo esercizio

Gentilissimi, e gentilissime,

continuiamo, e terminiamo, con i cenni teorici relativi alla statistica.

Affrontiamo solo tre dati statistici interessanti: MODA, MEDIA, MEDIANA.

MODA: è, semplicemente, il valore più rappresentato, il valore più frequente.

Facciamo un esempio:

In una classe di alunni è stato chiesto di indicare il colore preferito. Ecco le risposte:

BLU-GIALLO-ROSSO-VERDE-GIALLO-VERDE-BLU-NERO-VERDE-BIANCO-VERDE-GIALLO-BLU-VERDE-ROSSO-NERO-VERDE-GIALLO-ROSSO-VERDE-BLU-BIANCO-VERDE-VERDE-BLU

Osserviamo la consegna. Di quale indagine statistica si tratta? Come è possibile notare, si tratta di un’indagine qualitativa.

Per individuare la moda, dobbiamo, in qualche modo, riordinare le risposte fornite. Nel caso delle indagini qualitative può essere opportuno l’ordine alfabetico.

Costruiamo una tabella, come quella sottostante:

valore (colore preferito)	conteggio	frequenza	frequenza %
BIANCO	II	2
BLU	IIIII	5
GIALLO	IIII	4
NERO	II	2
ROSSO	III	3
VERDE	IIIIIIIII	9
TOT.	25	25

Per il conteggio si possono utilizzare modalità differenti. Nella tabella precedente abbiamo utilizzato “le aste”. Ad ogni scelta abbiamo correlato un’asta.

Nelle indagini scientifiche si utilizza un “quadrato crocettato”. In un prossimo post mostrerò come si conteggia con tale “quadrato crocettato”.

Ritorniamo alla moda. Dalla tabella si capisce immediatamente che la scelta più frequente, ossia il valore relativo al colore preferito che si presenta in quantità maggiore è : ”VERDE”.

Quindi “VERDE” è la moda. Si indica nel modo seguente:

MODA: VERDE

La moda, quindi, NON è nella colonna “frequenza”, ma nella colonna “valore”.

La moda è un valore e NON una frequenza.

Il totale “conteggio” e il totale “frequenza”, ovviamente, deve essere uguale al numero di intervistati.

La frequenza si può esprimere pure in forma di frazione. Per esempio, il valore GIALLO ha frequenza 4, oppure, in frazione 4/25.

A questo punto è semplice passare dalla colonna “frequenza” alla colonna “frequenza %”.

Si moltiplica ogni cella della colonna frequenza per il quoziente che si ottiene tra 100 e il totale degli intervistati.

Se, per puro caso, la Vostra Nonna Vi ha detto di “ricordare gli amici del 100”, usate pure quel metodo.

Gli “amici del 100” sono due fattori che, moltiplicati tra loro, hanno prodotto, appunto, 100.

Per il numero 25, l’amico del 100 è 4! Quindi dovrò moltiplicare per 4 ogni cella della colonna “frequenza”. Il prodotto risultante sarà nella medesima riga, nella cella relativa a “frequenza %”.

Dopo le moltiplicazioni ecco come si presenterà la nostra tabella:

valore (colore preferito)	conteggio	frequenza	frequenza %
BIANCO	II	2	8%
BLU	IIIII	5	20%
GIALLO	IIII	4	16%
NERO	II	2	8%
ROSSO	III	3	12%
VERDE	IIIIIIIII	9	36%
TOT.	25	25	100%

Può accadere che una indagine mostri DUE valori con frequenza maggiore. In tal caso si parla di DITRIBUZIONE BIMODALE.

Se il totale degli intervistati NON è “amico del 100”, in alcuni contesti, potrebbe essere utile approssimare le frequenze percentuali. Vedremo come in un prossimo post.

In una indagine, gli altri dati statistici riportati ad inizio post non sono rilevabili.

Ovviamente non ha molto senso trovare la “media dei colori”, come pure nemmeno ha significato calcolare il “valore mediano dei colori”.

Provate Voi:

Una indagine statistica sul gusto di gelato alla frutta preferito ha portato alle seguenti risposte:

FRAGOLA – MELONE – MELA VERDE – PESCA – FRAGOLA – MELONE – AMARENA – AMARENA – MELONE – FRAGOLA – NOCCIOLA – NOCCIOLA – PESCA – MELA VERDE – NOCCIOLA – AMARENA – MELONE – PESCA – NOCCIOLA – NOCCIOLA

Costruisci una tabella relativa a tale indagine. Trovane le frequenze e le frequenze percentuali. Trova la moda di tale indagine. Indica quante persone sono state intervistate.

Al solito, aspetto i Vostri rigorosi commenti!

NR, NONNA RIGOROSA!