Triangolo di Tartaglia e potenze

Gentilissimi e gentilissime,

in un post precedente potete osservare il famoso Triangolo di Tartaglia.

Come già detto, era noto già ad altri studiosi in precedenza.

Prendo lo spunto per ricordare altri matematici, forse meno famosi, che hanno avuto a che fare con tale schema, come il matematico profumista Varahamihira, o il matematico-poeta Halayudha, che lo chiama “Scala del Monte Meru”.

Ma che ha a che fare con le potenze? Oltre alla formula di Newton, presentata in post precedenti, proviamo ad osservare meglio.

Ripropongo il triangolo di Tartaglia, riprendendolo da Wikipedia:

Proviamo a sommare i numeri in ogni riga.

Potremmo ottenere qualcosa di simile:

riga n°	numeri presenti	Somma
1	1	1
2	1;1	2
3	1;2;1	4
4	1;3;3;1	8
5	1;4;6;4;1	16

Notate qualcosa? Non sembra simile (mooolto simile!) alla tabella che abbiamo costruito per i numeri binari?

Il Triangolo di Tartaglia “nasconde” anche le potenze di 2. Infatti possiamo aggiungere una colonna a destra:

riga n°	numeri presenti	Somma	2 n
1	1	1	2 0
2	1;1	2	2 1
3	1;2;1	4	2 2
4	1;3;3;1	8	2 3
5	1;4;6;4;1	16	2 4

E così via. Interessante, non credete?

Proviamo ora a scrivere i numeri di ogni riga consecutivamente. Otterremo una tabella come la seguente:

riga n°	numeri presenti	Numero risultante
1	1	1
2	1;1	11
3	1;2;1	121
4	1;3;3;1	1331
5	1;4;6;4;1	14641

Nuovamente: notate qualcosa? Sono le potenze con base 11. Possiamo costruire una colonna a destra. Otterremo:

riga n°	numeri presenti	Numero risultante	11 n
1	1	1	11 0
2	1;1	11	11 1
3	1;2;1	121	11 2
4	1;3;3;1	1331	11 3
5	1;4;6;4;1	14641	11 4

Le cose si complicano se proseguiamo con potenze successive. Iniziano a comparire numeri di due cifre. Dovremo effettuare i “riporti”. In altre parole, le decine si “spostano” di una casella a sinistra, aggiungendosi al numero presente. Facciamo un esempio.

La riga successiva è formata dai numeri 1-5-10-10-5-1. Segno in colore le decine e unità interessate. Otteniamo:

1-5-10-10-5-1

Come detto in precedenza, effettuiamo i “riporti”:

1-(5+1)-(0+1)-(0)-5-1

Da cui: 1-6-1-0-5-1. Per cui 11 ⁵ = 161051

Provate Voi a trovare, senza calcolatrice, effettuando correttamente i “riporti”, 11 ⁷

11 ⁷ = ?

Ovviamente dovete utilizzare il Triangolo di Tartaglia.

Al solito, inviate pure risposte e richieste mediante commento!

NR, Nonna Riportante