Gentilissimi e gentilissime,
conoscerete, senza dubbio, il celeberrimo Triangolo di
Tartaglia, noto, oltre che per essere una domanda de “L’Eredità”, come
Triangolo di Pascal.
La diatriba su chi fu ad idearlo è facilmente risolvibile:
Nicolò Fontana, detto Tartaglia morì nel 1557. Biagio Pascal
nacque nel 1623.
Probabilmente, tuttavia, furono cinesi, come Yang Hui, o
matematici-poeti arabi, come Al-Karaji, a scoprire per primi tale triangolo.
Personalmente preferisco di Tartaglia, in quanto fornisce la possibilità di
raccontare la storia del confronto-scontro tra Tartaglia e Cardano. O forse è solo
un modo per ricordarci che i matematici italiani sono tra i più rinomati al
mondo. E, ogni tanto, ci fa bene ricordarlo.
Tant’è!
EccoVi il triangolo di Tartaglia, ripreso da Wikipedia.
Ovviamente, come ben saprete, ogni numero è dato dalla somma
dei numeri scritti in precedenza sopra a destra e sopra a sinistra. Il primo numero
di ogni riga è 1.
Se dovessimo continuare con la riga successiva, troveremmo:
1 – 8 (7+1) – 28 (7+21) – 56 (21+35) – 70 (35+35) - 56 (21+35)
- 28 (7+21) – 8 (7+1) – 1
Ogni riga è nota come “formula del binomio di Newton”,
sebbene, come già detto, Al-Karaji ne facesse già uso. È il valore della fama.
E, in matematica, questo spesso accade.
Ogni riga, dicevamo, permette di trovare i coefficienti per
la formula di sviluppo delle potenze di un binomio qualsiasi.
Prendiamo, come esempio, la riga 1-5-10-10-5-1. Si tratta
dei coefficienti della potenza quinta di un binomio generico (A+B), ossia (A+B)
5.
Scriviamo i coefficienti separandoli e inserendo, prima di
ogni valore, il segno “+”. Otterremo:
+1 +
5 +10 + 10 + 5 + 1
A questo punto, trattandosi di un binomio, mettiamo, tra
parentesi tonde, il primo monomio, indicato con (A), moltiplicato per il
secondo monomio, indicato con (B). Ecco cosa otterremo:
+1 (A) (B) + 5 (A) (B) +10 (A)
(B) + 10
(A) (B) +
5 (A) (B) + 1
(A) (B)
Inseriamo gli esponenti. Metteremo in ordine decrescente gli
esponenti del primo monomio, partendo da sinistra. Faremo la stessa cosa per
gli esponenti del secondo monomio, questa volta partendo da destra. Alla fine
otterremo questo:
+1 (A) 5
(B) 0 + 5 (A) 4 (B) 1 +10 (A)
3 (B) 2 + 10 (A) 2 (B) 3 + 5 (A) 1 (B) 4 + 1 (A) 0 (B) 5
Togliamo gli esponenti 1, che saranno sottointesi. Ricordo,
inoltre, che un numero elevato alla zero è (+1), quindi possiamo non scrivere
le potenze con exp 0.
Ecco cosa otterremo:
+1 (A) 5 + 5 (A)
4 (B) +10 (A) 3 (B) 2
+ 10 (A) 2 (B) 3 + 5 (A) (B) 4 + 1 (B)
5
Questa è la formula di sviluppo per la potenza quinta di un
binomio. Ora, con cautela ed attenzione, se avessimo un binomio maggiormente
complesso, potremmo semplicemente sostituire ad (A) il primo monomio e a (B) il
secondo monomio. Ricordo pure che prima dovremo svolgere le potenze e, solo
successivamente, risolveremo le moltiplicazioni.
Nel prossimo post faremo un esempio non generico.
Per ora il Vostro compito sarà il seguente:
rappresentate il Triangolo di Tartaglia sino a exp 10 (sino
ad exp 7 è in figura). Potrete utilizzare la calcolatrice.
Mi raccomando, come
diceva John Bercow (cit.),: “Order!”
NR, Nonna Rappresentata, o Rappresentante?
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