correzione verifica calcolo letterale (4)

Gentilissimi e gentilissime,

proseguiamo con l’ipotetica virtuale correzione di una verifica di calcolo letterale.

Come si procede con divisioni e potenze?

Il discorso si fa piuttosto complesso! Partiamo con la divisione tra due monomi, come nell’esempio seguente:

·        (+ 48 a⁹b⁵) : (-6 a⁶b³)

Dapprima consideriamo la tipologia di esercizio: si tratta di una divisione tra due monomi. Dobbiamo indicare il campo di esistenza (C.E.) del divisore, ossia (-6 a⁶b³ ). Tale divisione risulta impossibile, o indeterminata, in questo caso, se il divisore è 0. Per tale motivo indichiamo le condizioni per cui sia possibile effettuare tale divisione: sia “a” sia “b” devono essere diversi da zero. Quindi scriveremo:

C.E. a≠0; b≠0

Ora possiamo eseguire con il metodo “SCLER0”

Segno: + per - = -

Coefficiente, o, meglio, modulo: 48:6=8; se la divisione non fosse esatta, si trasforma il quoziente in numero razionale, ossia in frazione

Scrivo le lettere (ab)

Per ogni lettera sottraggo gli esponenti, come da proprietà delle potenze. Otterremo

-8 a ^(9-6) b ^(5-3)

- 8 a ³ b ²

Come in post precedenti: se l’esponente di una lettera non è espresso, è sottinteso exp 1. Se l’esponente del divisore è maggiore del relativo exp del dividendo, otterremo un exp negativo. In tal caso le lettere con esponente negativo possiamo scriverle sotto ad una linea di frazione (ovviamente, in tal caso, l’exp diventa positivo.

Provate Voi:

(-54 x⁵y⁶) : (-9x³y)

Ecco una divisione tra monomi, in cui, tuttavia, i coefficienti sono numeri razionali:

·        (- 20/9 c¹¹d⁷) : (-4/3 c⁶d⁴)

Indichiamo il campo di esistenza: C.E. c≠0; d≠0. Risolviamo come in precedenza (“SCLER0”)

Per il segno, come al solito, usiamo la tabella dei segni (meno per meno = più). Moltiplichiamo il primo coefficiente per l’inverso del secondo (“Cosmizziamo”, come dice Lord Finnegan; e se non sapete chi è Cosmo, chiedete a Wanda, oppure a Timmy). Quindi (20/9)(3/4). Semplifichiamo il 4 con il 20; il 9 con il 3:

(20  ⁵/9  3)(3 1 /4 1)

Quindi il coefficiente sarà (+5/3). Procediamo come detto sopra. Scriviamo le lettere e, per ogni lettera, sottraiamo i relativi exp. Per la c (exp 11-6) e per la d (exp 7-4). Otterremo il monomio seguente:

+5/3 c⁵d³  C.E. c≠0; d≠0

Ed ora tocca a Voi. Provate a risolvere la seguente operazione tra monomi:

(-18/25 a⁶b³) : (+3/5 a⁴b)

Passiamo, ora, ad un esercizio di potenza di un monomio. Si procede come sopra con “SCLER0”. Per il segno, ricordo la “frasetta da dire”: <<E’ il caso negativo dispari?>>. Ossia, osservando l’operazione, il monomio base ha segno meno? L’esponente è dispari? Se la risposta doppia è un doppio “sì”, allora il segno sarà negativo. Negli altri casi il monomio potenza avrà segno +. Vediamo con un esercizio:

·         (- 2 x⁶y⁵) ⁴  

In questo caso, la base è negativa, ma l’exp è pari. Quindi la risposta sarà: “No”. Per cui il segno sarà positivo. Risolvo, poi, 2 exp 4, ossia 2x2x2x2= 16.

Scrivo le lettere e, per la proprietà “potenza di potenza”, si moltiplicano gli esponenti. La lettera x avrà esponente (6 per 4), ossia 24; la lettera y avrà exp (5 per 4), ossia 20.

Otterremo:

+ 16 x ²⁴y²⁰

Provate Voi:

 (- 10 a⁴ b⁶ c²) ⁵

  Attenti al segno e alla potenza di 10. Ricordate, vero?, come si risolve?

Al solito, se volete, potete inviare le Vostre soluzioni come commento.

NR, Nonna Ripetitiva

RIPASSO per una eventuale verifica sulle potenze

Gentilissimi e gentilissime,

eccoVi alcuni esercizi di ripasso sulle potenze. Se avete bisogno di ulteriori chiarimenti e spiegazioni, inviate le Vostre richieste come commento. Ripassate tali proprietà , come Vi hanno suggerito le Vostre nonne, prima di svolgere gli esercizi.

·         Sviluppa la potenza 4 ⁷

·         Scrivi in forma di potenza la seguente moltiplicazione: 7x7x7x7x7x7x7x7x7

·         Scrivi in forma di potenza la seguente moltiplicazione 3x8x8x8x3x3x8x3x3x8

·         10 ⁵ =

·         1 ⁴⁷ =

·         0 ⁸ =

·         0 ⁰ =

·         26 ⁰ =

·         53 ¹ =

·         6 ⁴ x 6 ⁸ =

·         9 ⁵ x 9 x 9 ³ x 9 ² =

·         8 ⁷ x 5 ⁷ =

·         12 ⁵ : 4 ⁵ =

·         11 ⁷ : 13 ⁷ =

·         14 ⁹ : 6 ⁹ =

·         21 ¹⁷ : 21 ¹¹ =

·         43 ⁷¹ : 43 ⁷¹ =

·         (5 ⁶ ) ⁴ =

·         [(8 ³)²]¹⁰ =

·         [(87 ⁶)⁰]²³ =

Ricordate di svolgere tutti i passaggi, se necessario e solo quando è necessario.

NR, Nonna Ripassante!

correzione calcolo letterale (3)

Gentilissimi,

proseguiamo con una correzione ipotetica della verifica di calcolo letterale.

Come si procede con il prodotto?

Vediamo qualche esercizio:

·        (-5 a⁵b²) (-4 a⁴b²)

Come sempre, dapprima osserviamo la tipologia dell’esercizio assegnato: si tratta della moltiplicazione tra due monomi. Usiamo il metodo “SCLER0” (Segno, Coefficiente, Lettere, Esponente, Risultato, controllo lo zero)

Per il segno usiamo la tabella dei segni: meno per meno = +

Moltiplichiamo i valori assoluti 5 per 4= 20

Scriviamo tutte le lettere che vediamo, una sola volta: in questo caso le lettere sono a e b.

Per le proprietà delle potenze, sommiamo gli esponenti presenti nella medesima lettera. Se non compare un esponente, è sottinteso 1.

Ricapitolando: segno +; valore 20; lettera a, con esponente (5+4); lettera b, con esponente (2+2). Ed ecco il risultato:

+ 20 a ⁹ b ⁴

Provate pure Voi:

(-3xy⁵)(+6x⁴y³)

Se i coefficienti sono numeri razionali, conviene effettuare un passaggio in più. Proviamo con il seguente esercizio:

·        (-6/25 x⁴y³) (+5/2 x²y²)

Usiamo sempre “SCLER0”. Aspettiamo a scrivere subito il risultato. Mettiamo il segno, che sarà –

-(6/5)(5/2) x ⁽⁴⁺²⁾ y ⁽³⁺²⁾

Semplifichiamo: due con sei; 5 con 5. Otterremo – 3/1, ossia -3. Ora risolviamo il prodotto:

-3 x ⁶ y ⁵

Ora provate Voi:

(-8/15 a⁴b⁶)(-5/4 a³b⁵)

Per il prodotto tra un polinomio e un monomio si procede come sopra. Si applica la proprietà distributiva! (“Il primo con il primo, il primo con il secondo, …”). Vediamo un esercizio “qualsiasi”:

·        (-3x⁴y³ + 4 x³y -8xy³) (-5 xy³)

Applicando la proprietà distributiva, possiamo procedere “come se” fosse una addizione tra prodotti con monomi. Per comodità usiamo anche le parentesi quadre. Dopo la parentesi quadra chiusa, mettiamo il segno “+” (Mister Batterista e Giusta Pasticciera: NON E’ FACOLTATIVO!):

[(-3x⁴y³) (-5 xy³)] + [(+ 4 x³y) (-5 xy³)] + [(-8xy³) (-5 xy³)]

Risolviamo, ora, come se fosse una somma di esercizi come quello precedente. Usiamo sempre “SCLER0”. Ricordo che, se l’esponente non è espresso, si sottintende 1. Otterremo quanto segue:

[+15 x⁵y⁶] + [-20 x⁴y⁴] + [+ 40 x²y⁶]

Possiamo ora togliere le parentesi. Se serve, riordiniamo i monomi (in questo esercizio sono già ordinati):

+15 x⁵y⁶ -20 x⁴y⁴ + 40 x²y⁶

Ora provate Voi:

·        (-6x⁵y⁴ + 5 x³y² -4x²y³) (-3 x⁴y⁵)

Come sempre, potete inviare i Vostri esercizi (sono quelli in rosso!) come commento.

Una Nonna Rossa, proprio come Cappuccetto! NR!

correzione di una ipotetica verifica di calcolo letterale (2)

Gentilissimi e gentilissime,

Lord Finnegan mi ha chiesto di correggere altri due esercizi di calcolo letterale. A mio avviso sono analoghi ai precedenti! Ma tant’è!

Chi è Lord Finnegan? Ma come? Non era un lord? Eh, direi proprio di no! Tim Finnegan è il protagonista di un libro di J. Joyce dal titolo “Finnegans wake”, in italiano “La veglia di Finnegan”. O “per” Finnegan? Mi serve una nonna inglese, mi sa!

E’ una storia piuttosto divertente. E piuttosto strana. Tim Finnegan è un muratore, proprio come Luigi Delle Bicocche. E, se non sapete chi è Luigi Delle Bicocche, cosa Vi posso dire? Io, certamente, sempre come dite Voi giovanotti, “non spoilero!”.

Forse la frase più celebre del libro (“cit”, come dite Voi giovanotti!): “Three quarks for Muster Mark”! Dalla parola “quark” ha preso spunto un fisico per denominare le particelle subatomiche di cui sono costituiti, per esempio, i protoni. Passiamo a quanto richiesto dal Lord.

Ecco gli esercizi corretti. Per la spiegazione, Vi rimando al post precedente.

·        +5 a²b – (-3ab² + a²b) – (-2a²b – 4 ab²) + 2 ab²  

Osserviamo dapprima l’esercizio e individuiamone la tipologia. Si tratta di addizioni tra polinomi. Togliamo le parentesi. Se, prima della parentesi, è presente il segno “-“, togliamo le parentesi, oltre al suddetto segno “-“, e cambiamo di segno agli addendi all’interno:

+5 a²b +3ab² - a²b +2a²b + 4 ab² + 2 ab²

Evidenziamo i monomi simili. Raccogliamo, ordinatamente, i monomi simili. Prima della parentesi metteremo un segno “+”:

+(+5-1+2) a²b + (+3+4+2) ab²

Risolviamo nelle tonde:

+6 a²b +9 ab²

Secondo esercizio:

·        - (-3x⁴ +y) + 2y – (-4x⁴ +3 y) + (-x⁴ + 3y) -4y

Osserviamo l’esercizio proposto. Si tratta di una addizione tra polinomi. Togliamo le tonde, come fatto nell’esercizio precedente. Se presentano davanti un “meno”, cambiamo di segno agli addendi interni. La terza parentesi ha davanti un segno “più”, quindi è sufficiente togliere tale segno e le parentesi, SENZA CAMBIARE DI SEGNO. Se un monomio non presenta coefficiente, è sottinteso “1”. Possiamo inserire tale coefficiente. Mostro questo in rosso!

+3x⁴ – 1 y + 2y +4x⁴ -3 y – 1 x⁴ + 3y -4y

Evidenziamo i monomi simili. Sono presenti monomi opposti. Elidiamoli!

+3x⁴ - 1y   + 2y +4x⁴ -3 y -1x⁴ + 3y -4y

Raccogliamo i coefficienti dei monomi simili in parentesi. Davanti alla parentesi metteremo un segno “+”:

+(+3+4-1)x⁴ +(-1+2-4) y

Risolviamo:

+6x⁴ -3 y

NR, Nonna Risolutiva!

come se fosse la correzione di una verifica di calcolo letterale (1)

Gentilissimi,

Vi lascio alcuni esercizi, con correzione, relativi al calcolo letterale. Le correzioni sono, sfortunatamente per Voi, commentate ad ogni passaggio. Rimarco come sia necessaria la dovuta attenzione, in particolare nella copiatura del testo e dei vari passaggi.

Partiamo? Certo che sì! Es. 1

·        -4x²y + 2 xy² +5 xy² – 3x²y – 2 xy² + 3x³y

Come sempre è mooooolto opportuno, veramente, osservare la tipologia di esercizio proposto. In questo caso si tratta di una addizione algebrica tra monomi. Sottolineiamo, in maniera diversificata, i vari monomi simili.

Ecco cosa otterremo:

-4x²y + 2 xy² +5 xy² – 3x²y – 2 xy² + 3x³y

Notiamo come il monomio in (x³y) sia un distrattore. Risistemiamo, durante l’addizione, i monomi in modo ordinato, ossia con l’esponente della lettera x decrescente. Prima il monomio (x³y), poi i monomi (x²y) e, per ultimo i monomi (xy²). Trascriviamo il primo monomio così come è! Per gli altri monomi simili raccogliamo in parentesi i relativi coefficienti. Scriveremo, subito dopo, la loro parte letterale. DAVANTI AD OGNI PARENTESI SCRIVEREMO IL SEGNO +! Mi raccomando! In particolare mi rivolgo a Mister Batterista e a Giusta Parrucchiera Pasticciera. Vi indico in rosso tale passaggio fondamentale!

+ 3x³y + (-4-3) x²y + (+2+5-2) xy²

A questo punto eseguo le somme (SONO SOMME, MISS BOCCOLI! SOMME! Non si deve utilizzare la tabella dei segni!) nelle parentesi. Se non lo avete ancora fatto, elidete i termini opposti nell’ultima parentesi. Tale passaggio si può fare anche in precedenza, per velocizzare i calcoli.

+ 3x³y -7 x²y + (+2+5-2) xy²

Ecco, così il risultato corretto:

+ 3x³y -7 x²y +5xy²

Ed ora a Voi!

Eseguite i seguenti esercizi:

1)     – 3 m – (-2n+4m) – 3n – (+5m -2n) – m

2)     4x²y – (-2xy² + 3 x²y) – 3xy² + 4x²y – (-x²y + 2xy²)

3)     -5ab + b³ – (- 2b³ + 3ab) – (- 4ab + 2b³) + 5 b³ – ab

Al solito: inviate le Vostre soluzioni, o richieste di ulteriori spiegazioni, come commento!

NR, Nonna Risoluta!

soluzione di una equazione per intersezione di due rette su piano cartesiano

Gentilissimi e gentilissime,

proviamo oggi a risolvere una equazione di primo grado utilizzando due rette su piano cartesiano.

Consideriamo la seguente equazione

 -2(-x +3) + 4 = -3(x – 1) + 4

Risolviamo ai due membri

+2x – 6 + 4 = -3x – 3 + 4

Risolviamo sempre ai due membri. Per ora non applichiamo il primo principio delle equazioni.

+2x-2 = -3x +1

Consideriamo i due membri della stessa equazione come se fossero rette su piano cartesiano.

Retta 1                y=+2x-2                m1=(+2)              q1=(-2)

Retta 2                y=-3x+1                m2=(-3)               q2=(+1)

Scriviamo le opportune considerazioni.

Poiché m1≠m2 le due rette NON sono parallele

Poiché (m1)(m2) ≠ (-1) le due rette NON sono perpendicolari.

Per R1   m1>0, quindi la retta è inclinata nel I-III quadrante

                q1<0, quindi la retta passerà sotto all’origine

Per R2   m2<0, quindi la retta è inclinata nel II-IV quadrante

                q2>0, quindi la retta passerà sopra all’origine

Completiamo, successivamente, le due tabelle relative. Scegliamo valori x “facili”:

Risolviamo per sostituzione:

Retta 1
x	y	punto
(+1)	0	A1
(-1)	-4	B1
(+2)	+2	C1
0	-2	D1

Retta 2
x	y	punto
(+1)	-2	A2
(-1)	+4	B2
(+2)	-5	C2
0	+1	D2

Per r1                                                                                                  Per r2

+2(x)-2                                                                                               -3(x)+1

+2(+1)-2=+2-2= 0                                                                           -3(+1)+1=-3+1= -2          

+2(-1)-2=-2-2= -4                                                                            -3(-1)+1=+3+1= +4

+2(+2)-2=+4-2= +2                                                                         -3(+2)+1=-6+1= -5

Tracciamo ora le due rette su piano cartesiano. Otterremo una rappresentazione simile a quella sottostante:

Indichiamo con P il punto di intersezione tra r1 e r2. Consideriamo le coordinate del punto P. Come sapete, o dovreste ricordare, le coordinate del punto P sono indicate con Px e Py, come segue: P=(Px;Py).

Per trovare Px è sufficiente tracciare dal punto P una linea perpendicolare (“verticale”) alla retta y. Se il punto P si trova sotto alla retta x, “si sale”; se il punto P si trova sopra alla retta x, “si scende”. Ovviamente in verticale. Il punto Px è sulla retta x, evidentemente.

Per trovare Py è sufficiente tracciare dal punto P una linea perpendicolare (“orizzontale”) alla retta x. Se il punto P si trova a sinistra della retta y, “si va a destra”; se il punto P si trova a destra della retta y, “si va a sinistra”. Ovviamente in orizzontale. Il punto Py è sulla retta y.

Risolviamo, per controllo, l’equazione data:

+2x-2 = -3x +1

+2x+3x=+2+1

(+2+3)x=+3

+5x=+3

Dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x, ossia (+5), otterremo

(+5)/(+5)       x = (+3)/(+5)

Semplificando e mettendo un solo segno

x = +3/5

Come è possibile notare nell’immagine, il punto Px trovato corrisponde esattamente, imprecisioni grafiche a parte, alla radice dell’equazione assegnata.

Provate Voi, ora, con l’equazione seguente:

-x-1=+x+5

Come sempre, potrete inviare le Vostre soluzioni come commento.

Nel prossimo post, proveremo a verificare se la radice trovata è corretta.

Una Nonna rappresentante, NR!

Retta passante per due punti

Gentilissimi e gentilissime,

come si procede per trovare l’equazione della retta passante per due punti sul piano cartesiano?

Esistono molte formule applicabili. Personalmente, da nonna impertinente, Vi suggerisco la seguente:

(y – y _A) (x _B – x _A) = (x – x _A) (y _B – y _A)

Se, per puro caso, i punti assegnati sono A(-1;-3) e B(+2;-2), possiamo sostituire nel modo che già conoscerete. Suggerisco, per evitare errori di segno, di aumentare l’ordine gerarchico delle parentesi. Le tonde diventeranno quadre! Mettiamo tra parentesi tonde le “lettere con pedice”. Ecco cosa otterremo:

[y – (y _A)] [(x _B )– (x _A)] =[x – (x _A)] [(y _B )– (y _A) ]

Sostituiamo con i valori in consegna (invito cortesemente il Redentore Pacifico di San Colombano e Mister Batterista a controllare sempre di aver ricopiato correttamente):

[y – (-3)] [(+2)– (-1)] =[x – (-1)] [(-2)– (-3) ]

Cambiamo di segno ove richiesto (invito Dante NoName a non “saltare” i passaggi dovuti):

[y +3] [+2 +1] =[x +1] [-2 +3]

Consiglio di lasciare le parentesi. Ora calcoliamo i valori nelle seconde parentesi dei due membri (invito Miss Boccoli e Parrucchiera Giusta Pasticciera a considerare tali operazioni come somme):

[y +3] [+3] =[x +1] [+1]

Per Miss Boccoli: il valore (+3) è, come valore assoluto, maggiore del valore (-2), quindi il segno sarà “+” e non “-“

Applico ora la proprietà distributiva (invito Vampira Venusiana e Agriturismo Bamboo a utilizzare pure le “freccette”, ma non sulle nonne! E neppure sui nipoti! Amazzone Micidiale, non devi usare il diario lanciandolo in testa a Dante! Devi provare a risolvere l’equazione!):

Risolvendo, possiamo togliere le parentesi e otterremo (certo che potevate utilizzare nickname meno strani, non credete?):

+3y +9=+1x +1

Sposto il termine noto (+9) a destra, cambiando di segno (San Colombano, attento!):

+3y =+1x +1-9

Risolvo a destra i termini noti (Attenta, Miss Boccoli! Non è una moltiplicazione!):

+3y =+1x -8

Applichiamo il secondo principio delle equazioni, dividendo per il coefficiente della y (+3) e otterremo (Sì, El Macho del Nonno! È invariantiva!):

y =+1/3  x – 8/3

in cui m=(+1/3) e q=(-8/3). Suggerisco a Giovane Pallavolista e Regina Ginnasta a controllare, magari usando il valore x=(+3/2). Certo… potrete provarci tutti! Usate i valori M(3), multipli di 3.

Rappresentate ora su piano cartesiano la retta individuata, semplicemente facendola passare per i punti assegnati.

Dovreste ottenere qualcosa di simile:

Risolvete, in seguito, l’equazione

+1/3  x – 8/3 = 0

Una Nonna Retta, ma non passante per due punti! NR!

MATEMATICA ED EPIDEMIE

Gentilissimi,
Vi propongo la lettura di alcuni articoli relativi alla matematica delle epidemie.
Leggete attentamente. Se siete interessati, Vi consiglio di ricercare il grafico pubblicato su alcuni quotidiani relativo a CoV ID - 19 e alla sua diffusione.
Per i nipotini: se volete potrei pubblicare una serie di esercizi di calcolo letterale! Con correzione relativa, ovviamente! Mandate commento in merito!

Ecco i link:

matematica ed epidemie 1

matematica ed epidemie 2

matematica ed epidemie 3

Una Nonna Ricercatrice, NR!

esercizi di calcolo letterale

Gentilissimi e gentilissime,

eccoVi alcuni esercizi di calcolo letterale. Ovviamente non sono tutte le tipologie di esercizi possibili. Chiedete alle Vostre nonne, eventualmente, in merito.

·         -2x³y + 4 xy² + xy² – x³y – 3 xy² + 5x³y

·         +3 a²b – (-2ab² + 2 a²b) – (-a²b – 3 ab²) + 4 ab²   

·         - (-4x³ + 2y) + 3y – (-2x³ + y) + (-5x³ + 2y) -3y

·         (-2 a⁴b³) (-3 a²b²)

·         (-4/5 x²y³) (+3/2 xy²)

·         (-2x³y² + 4 x²y -3xy²) (-10 x⁴y⁴)

·         (+ 30 a⁶b³) : (-6 a⁴b²)

·         (- 12/25 c⁸d⁴) : (-4/5 cd³)

·         (- 10 x³y⁴) ⁵   

·         (-2 a³b² + 5 a²b³ -4 ab²) (-2 a³ + 5 a²b)

·         (-20 x⁷y⁵ + 12 x⁵y³ – 8 x³y) : (- 4 x²y)

·         RAPPRESENTA GRAFICAMENTE IL TRIANGOLO DI PASCAL SINO AD EXP 5

·         SCRIVI LA FORMULA DI SVILUPPO DELLA POTENZA 3 DI UN BINOMIO

·         UTILIZZANDO LA FORMULA PRECEDENTE, RISOLVI (-2 x2y + 10 xy2) ³  

·         SCRIVI LA FORMULA DI SVILUPPO “SOMMA PER DIFFERENZA”

·         UTILIZZANDO LA FORMULA PRECEDENTE, RISOLVI (-3 a² + 2 b³)(-3 a² – 2 b³)

·         DATO IL MONOMIO (+4 x²y), CON x=(-2);   y=(+5), TROVANE IL VALORE

·         DATO IL POLINOMIO SEGUENTE (-3 a²b + 2 ab²), con a=(-1); b=(+10), TROVANE IL VALORE

·         DATO IL MONOMIO SEGUENTE (-2 X³Y), SOSTITUISCI SAPENDO CHE X=(-a²); Y=(+b³). IN SEGUITO TROVA IL VALORE NEL CASO IN CUI a=(-1); b=(-10)

·           + 3x – 5 = -x +4

Ehm... l'ultimo esercizio non è, propriamente, un esercizio di calcolo letterale.

Scusate la Vostra nonna ritardata! NR!