soluzione di una equazione per intersezione di due rette su piano cartesiano

Gentilissimi e gentilissime,

proviamo oggi a risolvere una equazione di primo grado utilizzando due rette su piano cartesiano.

Consideriamo la seguente equazione

 -2(-x +3) + 4 = -3(x – 1) + 4

Risolviamo ai due membri

+2x – 6 + 4 = -3x – 3 + 4

Risolviamo sempre ai due membri. Per ora non applichiamo il primo principio delle equazioni.

+2x-2 = -3x +1

Consideriamo i due membri della stessa equazione come se fossero rette su piano cartesiano.

Retta 1                y=+2x-2                m1=(+2)              q1=(-2)

Retta 2                y=-3x+1                m2=(-3)               q2=(+1)

Scriviamo le opportune considerazioni.

Poiché m1≠m2 le due rette NON sono parallele

Poiché (m1)(m2) ≠ (-1) le due rette NON sono perpendicolari.

Per R1   m1>0, quindi la retta è inclinata nel I-III quadrante

                q1<0, quindi la retta passerà sotto all’origine

Per R2   m2<0, quindi la retta è inclinata nel II-IV quadrante

                q2>0, quindi la retta passerà sopra all’origine

Completiamo, successivamente, le due tabelle relative. Scegliamo valori x “facili”:

Risolviamo per sostituzione:

Retta 1
x	y	punto
(+1)	0	A1
(-1)	-4	B1
(+2)	+2	C1
0	-2	D1

Retta 2
x	y	punto
(+1)	-2	A2
(-1)	+4	B2
(+2)	-5	C2
0	+1	D2

Per r1                                                                                                  Per r2

+2(x)-2                                                                                               -3(x)+1

+2(+1)-2=+2-2= 0                                                                           -3(+1)+1=-3+1= -2          

+2(-1)-2=-2-2= -4                                                                            -3(-1)+1=+3+1= +4

+2(+2)-2=+4-2= +2                                                                         -3(+2)+1=-6+1= -5

Tracciamo ora le due rette su piano cartesiano. Otterremo una rappresentazione simile a quella sottostante:

Indichiamo con P il punto di intersezione tra r1 e r2. Consideriamo le coordinate del punto P. Come sapete, o dovreste ricordare, le coordinate del punto P sono indicate con Px e Py, come segue: P=(Px;Py).

Per trovare Px è sufficiente tracciare dal punto P una linea perpendicolare (“verticale”) alla retta y. Se il punto P si trova sotto alla retta x, “si sale”; se il punto P si trova sopra alla retta x, “si scende”. Ovviamente in verticale. Il punto Px è sulla retta x, evidentemente.

Per trovare Py è sufficiente tracciare dal punto P una linea perpendicolare (“orizzontale”) alla retta x. Se il punto P si trova a sinistra della retta y, “si va a destra”; se il punto P si trova a destra della retta y, “si va a sinistra”. Ovviamente in orizzontale. Il punto Py è sulla retta y.

Risolviamo, per controllo, l’equazione data:

+2x-2 = -3x +1

+2x+3x=+2+1

(+2+3)x=+3

+5x=+3

Dividendo entrambi i membri per il coefficiente della x, ossia (+5), otterremo

(+5)/(+5)       x = (+3)/(+5)

Semplificando e mettendo un solo segno

x = +3/5

Come è possibile notare nell’immagine, il punto Px trovato corrisponde esattamente, imprecisioni grafiche a parte, alla radice dell’equazione assegnata.

Provate Voi, ora, con l’equazione seguente:

-x-1=+x+5

Come sempre, potrete inviare le Vostre soluzioni come commento.

Nel prossimo post, proveremo a verificare se la radice trovata è corretta.

Una Nonna rappresentante, NR!