potenze ed esponenti negativi

Gentilissimi,

il nostro Barth ha chiesto informazioni sulla applicazione delle proprietà delle potenze con numeri relativi ed esponenti negativi.

Procediamo con ordine:

1)      Si osserva se, nell’esercizio assegnato, sia possibile applicare una proprietà delle potenze

2)      Se ciò è possibile, ove necessario, si trasformano le basi con esponente negativo nei loro reciproci

3)      Si applicano correttamente le proprietà delle potenze.

Facciamo un esempio in cui sia possibile applicare una proprietà delle potenze. Risolviamo, come esempio, il seguente esercizio di calcolo:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 8/7) ⁸ (- 7/8) ² =

Se, al posto di (- 8/7) il terzo fattore fosse (-7/8), allora potremmo applicare la proprietà delle potenze “prodotto di potenze con la stessa base”. Questo è possibile, con i numeri relativi, ma non solo, utilizzando il concetto di numero reciproco, a volte detto pure “inverso”. Un numero è reciproco di un altro numero se il loro prodotto è (+1). Per trasformare un numero nel suo reciproco è necessario cambiare di segno all’esponente di quel numero. Ricordo, da vecchia nonna brrrrontolona, con tante lettere “r”, che, se non è presente alcun esponente si sottintende, quale esponente, il numero 1. Per trasformare la frazione (3/5) nel suo reciproco, quindi, è possibile procedere inserendo exp (-1). La frazione (3/5) è il reciproco della frazione (3/5) ^-1. A volte il reciproco viene detto “inverso”. Per inverso di un numero si intende quel numero che si ottiene “scambiando di posto” denominatore e numeratore. Il numero inverso di (3/5) è (5/3).

Per tale motivo (5/3) = (3/5) ^-1

Riprendiamo il nostro esercizio:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 8/7) ⁸ (- 7/8) ² =

Al posto di (- 8/7) ⁸ potremmo sostituire (-7/8) ^{– 8}. Otterremmo così:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 7/8) ^-8 (- 7/8) ² =

Applichiamo correttamente la proprietà “prodotto di potenze con la stessa base”:

(-7/8) exp 4-3-8+2

(-7/8) exp -5

(-7/8) ^-5

Ossia (-8/7) ⁵

Ed ora a Voi:

(- 6/5) ^-3 : (- 5/6)^-7 : (- 6/5)⁹ : (- 5/6)^-2 : (- 6/5)⁸ =

Scegliete Voi a quale base si riferisca tale esercizio.

Al solito, se Vi sembra utile, inviate pure per commento le Vostre soluzioni, magari motivandole. NR