retta dei relativi e radici

Gentilissimi,

lo Youtuber Biondino ha chiesto delucidazioni sulla rappresentazione di radici di numeri relativi su retta orientata.

Certo che siete proprio esigenti, nevvero? E, magari, stare attenti alle spiegazioni delle Vostre nonne?

Dopo le “sgridate di rito”, passiamo alla richiesta.

Come ben sapete, o dovreste sapere, l’operazione di radice, o estrazione di radice, è considerata, a volte, una operazione inversa dell’elevamento a potenza. Altre situazioni presentano la radice come numero irrazionale, oppure come soluzione di equazioni.

L’indice della radice, ossia il “numerino” in alto a sinistra, posto fuori dalla radice, indica, in effetti, il numero di soluzioni possibili per quella operazione. Il termina sotto alla radice è, come ben sapete, radicando.

Con i numeri relativi si presentano, escludendo alcuni casi particolari, 4 tipologie di estrazione di radice:

a)      Radicando positivo, indice dispari

b)      Radicando negativo, indice dispari

c)       Radicando positivo, indice pari

d)      Radicando negativo, indica pari

Il caso a) presenta un numero di soluzioni dato dall’indice della radice. Per esempio, una radice quinta avrà 5 soluzioni. Per i numeri relativi possiamo considerare anche una sola soluzione, concorde al radicando. Il punto immagine corrispondente sarà rappresentato, su retta orientata, in corrispondenza, approssimando la radice, quando necessario. Per esempio ⁵√+30 avrà 5 soluzioni, di cui una concorde, ossia positiva. Se il radicando fosse +32 la soluzione relativa sarebbe (+2). Essendo (+30), potremmo approssimare indicando un punto, a destra del punto origine, posto poco prima di (+2).

Il medesimo procedimento si può utilizzare con il caso b). E’ da tenere in considerazione che si tratta di un numero negativo. La soluzione relativa sarà, nuovamente, concorde. Facendo un esempio ⁷√-3 ha una soluzione concorde, ossia negativa. Approssimando, la soluzione negativa è poco maggiore di 1, ossia di poco a sinistra di (-1), in quanto il radicando è negativo. Utilizzando frasi di post precedenti, “tra (-2) e (-1), più vicino a (-1)”.

Il caso c), con radicando positivo e indice pari, presenta almeno due soluzioni rappresentabili su retta dei Relativi. Poiché, come ben sapete dalla classe prima, sulla medesima retta NON è possibile utilizzare due punti con lo stesso nome, è possibile ovviare a ciò, forse poco “matematicamente”, mediante una parentesi graffa. Per esempio, il punto immagine A del numero (√+16) ha due soluzioni. Tali soluzioni sono (+4) e (-4). Sopra alla retta faremo una parentesi graffa che abbia gli “uncini” in corrispondenza dei numeri (-4) e (+4). Dove si trova “la punta” della graffa, indicheremo la lettera corrispondente e la radice A(√+16).

Il caso d), invece, è impossibile in R. Tuttavia è possibile con i numeri immaginari e complessi. A questo punto non resta che chiedere delucidazioni alle Vostre nonne. Si presentano due possibilità:

·         Potrete indicare il punto, con lettera, NON sulla retta orientata, ma, per esempio, poco sotto

·         e/o potrete utilizzare la simbologia corrispondente, indicando che, per esempio

B(⁴√-17)

Oppure, semplicemente, scrivendo B(⁴√-17) impossibile in R

Ed ora tocca a Voi!

Rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(⁴√+81)   B(⁶√-13)   C(√+64)   D(³√+125)    E(⁵√+100000)

Un piccolo aiuto: il punto A corrisponde al caso “radicando positivo, indice pari”, caso c). avremo la possibilità di trovare due soluzioni su retta R. Facciamo ci la domanda seguente: “Quale numero, moltiplicato per se stesso 4 volte (nxnxnxn) ha come risultato 81?”. Ossia, quale base, elevata alla quarta, ha potenza 81? Evidentemente 3! Infatti 3 alla quarta è 81. 3 exp 4=81, oppure 3 ⁴ =81. Leggendo il caso c) dovremmo avere due soluzioni sulla retta. Tali soluzioni sono discordi. Quindi si tratta delle soluzioni (+3) e (-3). Le altre due soluzioni mancanti non sono sulla retta R. utilizziamo la parentesi graffa. Partiamo dagli uncini della graffa, ossia “pinziamo” i punti sulla retta corrispondenti a (+3) e (-3). Alla “punta” della graffa mettiamo A(⁴√+81).

Ricordo, inoltre, di mettere, oltre a dati e consegna, le “5 regole per la retta orientata”, già precisate in più occasioni.

Buon lavoro! E, se volete, potrete inviare, per commento, le Vostre soluzioni al blog presente.

NR, nonna radice

... e con le frazioni? Rappresentazione di frazioni "relative" su retta Q

Gentilissimi,

il Biondino Accentato ha chiesto spiegazioni ulteriori sulla rappresentazione di frazioni con numeri relativi su retta orientata.

Come già indicato in post precedenti, è necessario impostare la retta orientata, mediante le 5 caratteristiche, riprese pure nel precedente post: retta orizzontale orientata a destra, con punto origine, unità di misura appropriata e nome della retta. Per le frazioni sarebbe opportuno retta Q (rQ). Oppure un nome minuscolo adeguato.

Ricordo come sia necessario conoscere la distinzione tra frazioni proprie, improprie, apparenti.

Ripassiamo brevemente:

·         Frazioni proprie: sono minori dell’intero ma non nulle. Si rappresentano tra 0 e 1

·         Frazioni improprie: sono maggiori dell’intero, ma non sono interi. Si rappresentano a destra di 1, e non sono rappresentate coincidenti con numeri naturali

·         Frazioni apparenti: si rappresentano coincidenti con un numero naturale

Rimando, in merito, ad un post precedente relativo alla rappresentazione di frazioni su retta.

Poiché parliamo di numeri relativi, le frazioni proprie si rappresentano sempre tra 0 e 1, ossia tra 0 e (+1) se positive; tra 0 e (-1) se negative. Spiegando ulteriormente, se una frazione relativa è propria positiva si trova il suo punto immagine tra 0 e (+1). Se la frazione relativa è propria e negativa, il suo punto immagine è tra (-1) e 0. Ovviamente sarebbe opportuna una unità di misura, in “quadratini”, che sia multipla del mcd dei denominatori presenti. È possibile utilizzare pure, con buona approssimazione, una unità di misura doppia (2 quadratini, per esempio).

Per le frazioni apparenti è sufficiente, in colonna ausiliaria, semplificare la frazione. Si mettono le lettere sopra alla retta e si utilizza convenientemente il simbolo di coincidenza.

Per le frazioni improprie si possono utilizzare sia la divisione sia la definizione di denominatore. È sufficiente porsi una domanda: “Tra quali multipli del denominatore è compreso il numeratore?”. Oppure: “Il quoziente tra numeratore e denominatore quale è?”. Il punto immagine corrispondente sarà compreso tra 2 numeri naturali.

Facciamo un esempio. Il numero P(17/3) è dato da una frazione impropria. Se faccio la tabellina del 3, ossia del denominatore, il 17 (numeratore) è compreso tra 15=3x5 e 18=3x6, ossia tra il quinto e il sesto multiplo. Per questo 17/3, ossia il punto P, sarà rappresentato tra 5 e 6. Poiché 17 è “più vicino” al 18, P sarà “più vicino” a 6. “Tra 5 e 6, ma più vicino a 6”.

Consideriamo punti immagine con numeri relativi Q.

A(-2/7)   B(+2/9)   C(-14/7)   D(+21/7)

A e B sono frazioni proprie. A è positivo, quindi si rappresenta tra 0 e (+1). Poiché il 2 è più vicino a 0 che a 7, ossia al denominatore, sarà rappresentato “tra 0 e +1, più vicino a 0”.

B è negativo, ma è un punto rappresentativo di una frazione propria. Sarà rappresentato tra 0 e (-1). Sarebbe meglio dire tra (-1) e 0. Il numeratore 2 è più vicino a 0 che a 9, quindi “tra -1 e 0, più vicino a 0”.

C e D sono frazioni apparenti. Quindi il loro punto immagine coincide con un numero intero (numero Z). C, semplificando, e considerando il segno meno, coincide con (-2). D, semplificando, essendo positivo, coincide con (+3).

Consideriamo i punti immagine seguenti:

E(- 13/2)   F(-7/4)   G(-17/8)   M(+19/4)   P(+11/2)   S(+7/3)

Il punto E è una frazione impropria negativa. Si rappresenta a sinistra di O. Se facciamo la divisione semplice 13:2 si ottiene 6,5. Il punto immagine si rappresenta tra 6 e 7, esattamente a metà. Essendo negativo si rappresenterà tra (-7) e (-6), a metà.

F, impropria negativa, ha denominatore 4. Il 7 si trova tra i multipli di 4 seguenti: 4 e 8, più vicino a 8. Rappresenteremo F, tra 1 e 2, ossia tra (-1) e (-2), in quanto negativo. Essendo “più vicino a 8, sarà più vicino a (-2), ossia più lontano dall’origine.

Per G, con il medesimo procedimento, troviamo che si rappresenta tra (-3) e (-2), in quanto i multipli corrispondenti di 8 sono 16 e 24, ossia il secondo e terzo multiplo. 17 è più vicino a 16, quindi G sarà rappresentato più vicino a (-2), tra (-3) e (-2).

Se mi sono spiegata bene, potrete comprendere come:

·         M(+19/4) sia rappresentato tra (+4) e (+5), più vicino a (+5)

·         P(+11/2) sarà rappresentato tra (+5) e (+6), esattamente a metà

·         S(+7/3) sarà rappresentato tra (+2) e (+3), più vicino a (+2)

Ora provate Voi:

rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(-13/5)   B(+34/7)   C(+15/2)   D(-23/10)   E(+9/2)

Buon lavoro! Nonna Rosa, NR

retta Z (rappresentazione di numeri interi relativi su retta

Gentilissimi,

cosa accade quando si devono rappresentare numeri relativi su retta orientata?

Consideriamo dapprima le 5 caratteristiche essenziali:

1)      Retta orizzontale (retta, e non semiretta)

2)      Retta con freccia a destra, orientata

3)      Scelta del punto origine O, corrispondente, quasi sempre, al numero 0

4)      Scelta di una unità di misura u

5)      Denominazione della retta (retta R potrebbe essere la denominazione adatta)

A destra del punto origine si trovano i numeri relativi positivi, mentre a sinistra si trovano quelli negativi. Sarebbe opportuno indicare sempre almeno un numero positivo ed uno negativo.

Prendiamo, per esempio, i punti immagine seguenti:

A(-6)   B(+2)   C(0)   D(|-3|)   E(-|-4|)

Il punto immagine A si trova a sinistra del punto origine. Conto 6 unità, partendo da O, andando a sinistra. Scrivo il nome del punto A, meglio se sopra alla retta, e metto in parentesi tonde il numero (-6). Allo stesso modo il punto B è a destra, essendo positivo. Mi sposto verso destra, partendo da O. scrivo la lettera-nome del punto, metto in tonde il numero (+2).

Il punto C coincide con l’origine dei numeri relativi. Scriverò CΞO, ossia indico che il punto immagine C e l’origine sono coincidenti. Metto in tonde il numero (0).

Per i punti D ed E è necessario considerare il modulo. Le parentesi verticali non sono parentesi quadre. Indicano la quantità considerata dal numero relativo. Che tale numero sia positivo o negativo, a tal fine, poco conta. La parentesi-modulo indica il valore assoluto del numero. Il valore assoluto è sempre positivo. Il punto D si trova a destra, quindi. Il punto immagine coincide con il valore (+3). Scrivo su +3 la lettera D. indico la coincidenza tra (+3) e (|-3|), ossia (+3) Ξ (|-3|).

Il punto E è indicato da parentesi modulo, ossia è positivo. Tuttavia, davanti alla parentesi modulo si trova il segno meno. Tale segno indica che, sulla retta, al posto di spostarmi verso destra, devo spostarmi, da O, verso sinistra, di tante unità quante indicate dal valore assoluto. In altre parole il punto E è rappresentato come se fosse a sinistra, coincidente con il numero (-4). Su tale numero scrivo E, sotto alla retta indico la coincidenza (-4) Ξ(-|-4|).

Semplice, non credete?

Ora provate Voi:

Rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(-6)   B(+5)   C(|+8|)   D(-|-2|)    E(-2)

Prestate attenzione alle eventuali coincidenze tra i punti, utilizzando l’apposito simbolo.

NR, una nonna rettilinea

espressioni in Q, con numeri relativi

Gentilissimi,
Vi lascio alcuni esercizi con espressioni in Q. Si tratta di espressioni con numeri relativi. Vi ricordo di considerare i calcoli in parentesi come "espressioni", nel caso in cui, prima o dopo la parentesi, o al suo interno, vi siano moltiplicazioni, divisioni, radici, potenze. In altri casi, è possibile considerarle come addizioni algebriche, procedendo di conseguenza. Con le frazioni, spesso, è opportuno risolvere parentesi per parentesi e NON considerarle addizioni algebriche.
EccoVi alcuni esercizi per compito:

a) [(- 2 + 3/2) : (+4) - (-5/2)] (-7/2 + 1) - (- 5/4) =
b) - 5/7 - [(3/5 - 2) : (-5/7) - 2] - (-4/5)(-3/2) =
c) - [- (- 1/3) - (3-1/3) - 1] [-1-(-3-1/3)- 3 - (1- 1/3)] =

Al link seguente potrete trovare alcune semplici espressioni proposte dalla Zanichelli.

espressioni Zanichelli

Prestate attenzione ai distrattori presenti nella espressione c)!
NR, nonna relativa

proporzioni e leve

Gentilissimi,
è il ritorno di Nonna Rosa.
Da molto tempo la Vostra nonna non accede, per diversi motivi, al blog.
Come ben sapete sono appassionata di uncinetto, lavori a maglia e canasta.
Con le mie amiche abbiamo fondato una squadra di canasta.
Ci siamo iscritte ad un torneo che assegnava punti per partecipare ai Regionali di canasta.
Ogni due vittorie sono assegnati 11 punti. Servono 108 punti per garantirsi l'accesso ai Campionati regionali. La nostra squadra ha vinto, complessivamente 18 partite. Siamo già qualificate ai Regionali? Oppure ci mancano punti? Quanti, eventualmente?

Sempre sulle proporzioni, Vi lascio un link divertente e simpatico a cui giocare. Ricordo che la proporzione relativa è:
peso 1: peso 2 = distanza 1 : distanza 2

(forza 1: forza 2=braccio 1: braccio2)

Ecco li link:

gioco leve

NR, nonna ritornata