un problema per Barth

Gentilissimi,

Barth mi ha chiesto di inserire problemi sui numeri relativi. Vi presento un problema col valore assoluto (tipologia “a modulo”). Gli esempi sono numerosi e, spesso, semplici.

In data 7 gennaio il termometro della località “4 ghiacciai” ha segnato, quale temperatura minima – 13 ° C. Nello stesso giorno lo stesso termometro ha segnato una temperatura massima di 6 ° C. Quale è stata l’escursione termica giornaliera, per quella data e per quella località?

Analizzando i dati, possiamo dire che le temperature sotto lo zero gradi centigradi siano negative, come è indicato, mentre le temperature sopra allo zero gradi centigradi siano positive.

Se non è ben chiaro quale sia il valore negativo, se esiste, e quale sia il valore positivo, sempre che esista, solitamente è meglio rileggere il testo del problema, individuando direzione, punto origine e verso.

In tal modo possiamo, comunque, individuare se i valori assegnati, comunemente due, ma non è detto, siano concordi o discordi.

Se i due valori sono discordi, tra le parentesi-modulo è opportuno inserire il segno di addizione. Se i valori sono concordi, è opportuno inserire tra le parentesi modulo il segno di sottrazione.

Nel caso in questione potremmo scrivere i dati nel seguente modo:

DATI

(- 13 °C) = temperatura minima registrata

(+ 6 ° C) = temperatura massima registrata

? escursione termica = …… °C

Poiché i valori sono discordi, inseriamo tra le parentesi-modulo il segno “+“

|- 13|+|+ 6|=

Ricordiamoci che la parentesi-modulo indica “una quantità”, quindi positiva, anche se il segno dentro alla parentesi-modulo è negativo

13 + 6 = 19 °C escursione termica del 7 gennaio, in località “4 ghiacciai”

Ora provate Voi:

Il sommozzatore Gigi si trova alla profondità di 34 m sotto al livello del mare. L’elicottero di supporto, con cui Gigi è in contatto radio, si trova alla quota di 45 m sopra alla superficie del mare. Quanto distano le due radio? Di quanti metri potrebbe ancora innalzarsi l’elicottero, sapendo che la portata massima delle radio è di 90 m?

Buon lavoro! Come sempre, se pensate sia utile, inviate pure le Vostre soluzioni mediante commento.

NR, nonna Radio

potenze ed esponenti negativi

Gentilissimi,

il nostro Barth ha chiesto informazioni sulla applicazione delle proprietà delle potenze con numeri relativi ed esponenti negativi.

Procediamo con ordine:

1)      Si osserva se, nell’esercizio assegnato, sia possibile applicare una proprietà delle potenze

2)      Se ciò è possibile, ove necessario, si trasformano le basi con esponente negativo nei loro reciproci

3)      Si applicano correttamente le proprietà delle potenze.

Facciamo un esempio in cui sia possibile applicare una proprietà delle potenze. Risolviamo, come esempio, il seguente esercizio di calcolo:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 8/7) ⁸ (- 7/8) ² =

Se, al posto di (- 8/7) il terzo fattore fosse (-7/8), allora potremmo applicare la proprietà delle potenze “prodotto di potenze con la stessa base”. Questo è possibile, con i numeri relativi, ma non solo, utilizzando il concetto di numero reciproco, a volte detto pure “inverso”. Un numero è reciproco di un altro numero se il loro prodotto è (+1). Per trasformare un numero nel suo reciproco è necessario cambiare di segno all’esponente di quel numero. Ricordo, da vecchia nonna brrrrontolona, con tante lettere “r”, che, se non è presente alcun esponente si sottintende, quale esponente, il numero 1. Per trasformare la frazione (3/5) nel suo reciproco, quindi, è possibile procedere inserendo exp (-1). La frazione (3/5) è il reciproco della frazione (3/5) ^-1. A volte il reciproco viene detto “inverso”. Per inverso di un numero si intende quel numero che si ottiene “scambiando di posto” denominatore e numeratore. Il numero inverso di (3/5) è (5/3).

Per tale motivo (5/3) = (3/5) ^-1

Riprendiamo il nostro esercizio:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 8/7) ⁸ (- 7/8) ² =

Al posto di (- 8/7) ⁸ potremmo sostituire (-7/8) ^{– 8}. Otterremmo così:

(- 7/8) ⁴ (-7/8) ^-3 (- 7/8) ^-8 (- 7/8) ² =

Applichiamo correttamente la proprietà “prodotto di potenze con la stessa base”:

(-7/8) exp 4-3-8+2

(-7/8) exp -5

(-7/8) ^-5

Ossia (-8/7) ⁵

Ed ora a Voi:

(- 6/5) ^-3 : (- 5/6)^-7 : (- 6/5)⁹ : (- 5/6)^-2 : (- 6/5)⁸ =

Scegliete Voi a quale base si riferisca tale esercizio.

Al solito, se Vi sembra utile, inviate pure per commento le Vostre soluzioni, magari motivandole. NR

Una risposta per Syria

Gentilissima Syria,
ho già pubblicato, nei primi giorni del dicembre 2012, uno schema di risoluzione per espressioni con numeri razionali. Prova a effettuare una ricerca nel blog. Utilizza pure lo schema per le prime espressioni. In seguito prova a farne a meno. Se, nonostante tutto, ancora non riesci a risolvere qualche espressione, invia la Tua risoluzione. Assieme cercheremo di trovare eventuali imprecisioni e/o errori.
NR

rappresentazione di radici di numeri relativi su retta R

Gentilissimi,

un’altra richiesta, con esercizi e spiegazioni, proviene da Barth. Egli vuole sapere come si rappresentino numeri irrazionali di radici di numeri relativi su retta dei relativi.

Ricordo che l’indice della radice è il numeretto posto in alto a sinistra del simbolo di radice. Se non è presente alcun numero, si sottintende 2, ossia “radice quadrata”. Ricordo pure che tale numero indica, appunto, il numero di possibili soluzioni della radice come operazione. Una radice con indice 6 avrà sei possibili soluzioni. Lascio ad altre nonne, a me superiori, eventuali migliori spiegazioni.

Il radicando è il termine posto sotto al simbolo di radice.

Procediamo con ordine:

Primo caso: radice con indice pari e radicando negativo

Es.: A(⁸Ö- 5)

Con i numeri reali relativi non esiste alcuna soluzione per tale radice. Scriverò, quindi, che

A(⁸Ö- 5) IMPOSSIBILE IN R

Secondo caso: radice con indice pari e radicando positivo

Es.: B(Ö+25)

Si tratta di una radice quadrata, quindi sono presenti due soluzioni. Il punto B, in realtà, si trova, contemporaneamente, in due distinti punti sulla retta R. Infatti (+5)(+5) = + 25, ma anche (-5)(-5) = + 25

Rappresenterò, sopra o sotto alla retta R, una parentesi graffa che collega i punti (+5) e (-5). Al vertice della parentesi scriverò B

Terzo caso: radice con indice dispari e radicando positivo

Solitamente sono proposte radici con indice 3, “radici cubiche”. Ricordo, tuttavia, che sono possibili facili esercizi anche con radici a indice differente.

Es.: C(⁹Ö+1 000 000 000)

Sarebbero possibili 9 soluzioni. Ne cerco una sola. Vi suggerisco la più facile: quale numero, elevato alla nona, fornisce, come soluzione 1 000 000 000? Evidentemente 10. Scegliamo la soluzione concorde al radicando, ossia (+10). Rappresenterò C su +10, scrivendo che (+10) º (⁹Ö+1 000 000 000). Tale forma di scrittura non è propriamente corretta, ma spero sia sufficiente per le Vostre nonne.

Quarto caso: radice con indice dispari e radicando negativo

Anche in questo caso rappresenterò il punto immagine facendolo coincidere sulla soluzione concorde più semplice.

Es.: D(⁵Ö-32)

La soluzione più semplice è (-2). Utilizzerò la procedura di scrittura, seppur non propriamente precisa e corretta. In corrispondenza di (-2) indicherò il punto D, scrivendo (-2) º (⁵Ö-32).

Sperando che tali spiegazioni siano sufficienti, Vi invito, nuovamente, a inviare ulteriori richieste mediante commento sul blog.

E ora tocca a Voi!

Rappresenta su retta R i seguenti punti:

A(⁵Ö-100 000)

B(¹³Ö+1)

C(⁴Ö+16)

D(¹⁰Ö-79)

La Vostra NR, nonna Reale e Relativa!

Esercizi con frazioni generatrici

Gentilissimi,
non ho fatto in tempo a pubblicare il post precedente che, già, Minerale Capriccioso ha chiesto esercizi sulle frazioni generatrici.
Nel Vostro blog preferito si trovano appunti ed esercizi in proposito. Gli appunti non sono, tuttavia, completi.
Le date dei post di spiegazione sono: 17 settembre 2014; 18 settembre 2014; 11 dicembre 2013, oltre ad esercizi sparsi e vari.
Per un elenco completo è sufficiente inserire "frazioni generatrici" nella casella "Cerca" del blog.
Se Vi servissero altri esercizi o spiegazioni, inviate richiesta tramite commento.
Ora accontentiamo il nostro Minerale Capriccioso:

1) Trasforma il numero 2,648 in frazione
2) Trasforma il numero 4,(5) in frazione
3) Trasforma il numero 3,7(1) in frazione
4) Senza effettuare la divisione, trasforma la frazione 13/25 in numero decimale
5) Senza effettuare la divisione, trasforma la frazione 47/3 in numero decimale
6) Senza effettuare la divisione, trasforma la frazione 107/45 in numero decimale

Sperando siano sufficienti, ricordate che, se Vi sembra utile, potete inviare le Vostre soluzioni mediante commento. NR, nonna Razionale periodica mista

rappresentazione di frazioni

Gentilissimi,
la Vostra nonna è di ritorno da un lungo viaggio, lo "Sciatica Tour". Nel frattempo Cherubina ha chiesto alcuni esercizi di rappresentazione di frazioni. Ricordate, come sempre, che si tratta solo di alcuni esercizi. L'elenco proposto non è sicuramente esaustivo e completo. Chiedete sempre alle Vostre nonne, prima della verifica, quali esercizi saranno proposti, oppure quale tipologia di esercizi saranno presenti in verifica.
1) Rappresenta, mediante apposito rettangolo, la frazione 1/8
2) Rappresenta l'unità frazionaria 1/49 mediante quadrato
3) Rappresenta la frazione 6/11 mediante segmento
4) Rappresenta 13/13 mediante rettangolo
5) Rappresenta, mediante segmento, 9/5
6) Rappresenta, mediante rettangolo, 12/4
7) Rappresenta, mediante segmento, 5/1
8) Rappresenta la frazione complementare di 3/10 su segmento
9) Rappresenta, mediante orologio, il numero misto (7 + 3/4)
10) Rappresenta, mediante orologio, il numero misto (4 - 1/4)
11) Rappresenta mediante "quadrato-100" il numero 0,83
12) Rappresenta, dopo aver trasformato in frazione, il numero 1,6
13) Rappresenta, dopo aver trasformato in frazione, il numero 2,(7)
14) Rappresenta, dopo aver trasformato in frazione, il numero 1, 2(5)
15) Rappresenta, in modo approssimato, un rettangolo aureo

Sperando possano servire.... Se pensate sia utile, inviate commenti, proposte e/o soluzioni.
NR, nonna Rappresentante, ma non di classe!

domande per una preparazione ad una verifica di teoria sui numeri razionali

Gentilissimi,
dopo qualche tempo si è rifatta sentire Nest Freemark. Ha chiesto di inserire domande per una verifica di teoria sui numeri Q, o numeri razionali.
Premetto che le possibili domande sono, effettivamente, molto numerose. Per non scontentare Lei e Voi, ecco un elenco, poco esauriente e, forse, poco "raffinato". Vi raccomando: chiedete sempre informazioni alle Vostre nonne, prima e non dopo, o durante, le verifiche.
Sperando siano sufficienti... NR, Nonna "Raffinata"

1) Cosa si intende con frazione?
2) Come sono detti i termini di una frazione? Quale è il loro significato?
3) Quali sono le caratteristiche di una frazione propria? E di una impropria?
4) Quando una frazione è detta apparente?
5) Cosa si intende con "unità frazionaria"?
6) Quando una frazione è nulla?
7) Quando una frazione è "indeterminata"? E quando è impossibile?
8) Cosa si intende con "riduzione ai minimi termini"?
9) Quale procedimento si può utilizzare per confrontare due frazioni?
10) Come si semplifica una moltiplicazione?
11) A cosa servono le frazioni, nella vita di tutti i giorni?
12) In quali contesti con le frazioni è possibile contare? Fai un esempio non banale
13) Quando una frazione è "quantificatrice"?
14) Come si risolvono le potenze di una frazione?
15) Come si risolve la potenza del numeratore? E la potenza del denominatore?
16) Quale è il significato di frazioni con potenze ad esponente diverso tra numeratore e denominatore?
17) Come si risolve una divisione tra frazioni?
18) Quale procedimento dobbiamo usare per addizionare due frazioni?
19) Cosa accade in una differenza tra frazioni? Quale accorgimento dovremmo tener presente, prima di procedere al calcolo?
20) A quali considerazioni sono giunti gli scienziati "frazionando" l'universo?
21) Come si rappresentano le frazioni sulla retta Q?
22) Cosa sono i numeri misti? A cosa servono? Quando sono utilizzati nella vita di tutti i giorni?
23) Cosa si intende con numeri decimali semplici limitati? Come sono le frazioni ad essi equivalenti?
24) Cosa si intende con "periodici semplici"? Come sono le frazioni ad essi equivalenti?
25) Cosa si intende con "periodici misti"? Come sono le frazioni ad essi equivalenti?
26) Come si passa da numero decimale semplice a frazione?
27) Come si passa da periodico semplice a frazione?
28) Come si passa DA PERIODICO MISTO A FRAZIONE?
Buon lavoro! NR