esercizi sul volume dei solidi

Gentilissima Papera di Gomma,
ecco le informazioni richieste.
1) Volume del parallelepipedo rettangolo:
pagg. 142-143  ess. 144-145-151-153-
2) Volume dell cubo
pagg. 145-146-147 ess. 200-206-213-222-231
3) Volume del prisma retto
pagg. 150-151-152-153 ess. 273-274-275-276-283-289-293
4) Volume della piramide retta
pagg. 160-161 ess. 364-374-377-384-391
5) Volume del cilindro retto
pagg. 222-223 ess. 27-28-55
6) Volume del cono retto
pagg. 230-231 ess. 123-124-126-127-131

Penso possano essere sufficienti, non credi? NR

un prototipo di stampante "solida"

Gentilissimi,
come è possibile stampare un cubo?
EccoVi un simpatico video su una futura stampante 3D-4D.
Buona visione e buona lettura! NR

sviluppo di un cubo

applicazione dei teoremi di Euclide ai solidi

Gentilissimi,

il Mediatore posticipato ha chiesto quali possano essere le connessioni tra solidi e teoremi di Euclide.

Proviamo a rispondere. Eviterei, per quanto possibile, i casi non semplici. Mi limiterei ai solidi di rotazione.

In particolare provate a raffigurare un triangolo rettangolo. Disegnatelo avente per base l’ipotenusa. Tracciate, per Vostra comodità, l’altezza relativa all’ipotenusa.

Fate ruotare, in maniera completa, il triangolo rettangolo attorno all’ipotenusa. Otterrete un “doppiocono”.

Chiamiamo C1 il cono formatosi a sinistra della Vostra figura, e C2 il cono formatosi a destra.

Per calcolare il volume del doppiocono dovremo trovare, e sommare, i volumi di C1 e C2.

V cono = A cerchio di base x h cono : 3    u³

A cerchio = r ² π u ²

Per ciascuno dei due coni, osservando la figura, possiamo dire che:

·        Il raggio del cerchio di base corrisponde all’altezza relativa all’ipotenusa del triangolo di partenza

·        L’altezza di ciascun cono corrisponde alla rispettiva proiezione del cateto, di destra o di sinistra, del triangolo di partenza

·        L’apotema di ciascun cono corrisponde al rispettivo cateto

A questo punto è facilmente comprensibile che, in molte occasioni, si debba applicare uno dei teoremi di Euclide.

Ripassiamo velocemente, e, forse, in modo eccessivamente semplificato:

PER IL PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE

quadrato del cateto 1 = proiezione di quel cateto x ipotenusa

quadrato del cateto 2 = proiezione di quel cateto x ipotenusa

PER IL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE

quadrato dell’altezza relativa all’ipotenusa = proiezione del cateto 1 x proiezione del cateto 2

Altre formule che possono, in qualche occasione, essere utili sono le seguenti:

ipotenusa x altezza relativa = cateto 1 x cateto 2

TEOREMA DI PITAGORA

Quadrato dell’ipotenusa = quadrato del cateto 1 + quadrato del cateto 2

Ed ora, a gentile richiesta, un piccolo problema:

Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa che misura 39 cm. Uno dei cateti misura 15 cm. Calcola il volume del solido ottenuto facendo ruotare, in maniera completa di 360°, il triangolo attorno alla ipotenusa. Approssima il risultato ai centesimi.

un problema sul tronco di cono

Gentilissimi, il solerte Nicola ha richiesto un problema sul tronco di cono.
Proviamo a risolvere il seguente:

Un cono retto ha l'altezza che misura 84 cm. Il raggio di base misura 18 cm. Il solido è tagliato, perpendicolarmente alla altezza, da un piano. Si individua così un cono piccolo sovrastante ad un tronco di cono. L'altezza del cono minore misura 28 cm. Calcola il volume del tronco di cono.

DATI
cono retto=dato relazionale
h cono maggiore=84 cm
r=18 cm
perpendicolarmente=d.r.
h cono minore=28 cm
? volume tronco di cono=  ..............  centimetri cubici cc

Scriviamo la formula per trovare il volume del cono

V cono = A cerchio x h cono : 3 cc
A cerchio=rxrxpi greco cmq

Calcoliamo, per differenza, il volume del tronco di cono

V tronco di cono = V cono maggiore - V cono minore cc

Area cerchio = 18x18xpi greco cmq
approssimiamo pi greco a 3,14
Area cerchio = 1017 cmq

V cono maggiore=1017x84:3 cc= 28476 cc (circa)

Ora dobbiamo trovare il raggio del cerchio di base del cono minore.
Se rappresentiamo graficamente il cono di partenza, possiamo notare che si individuano, in seguito al "taglio" effettuato col piano nel testo, due triangoli rettangoli simili.
Un triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono maggiore e il raggio di base, e, come ipotenusa, l'apotema del cono maggiore. Il secondo triangolo rettangolo ha, per cateti, l'altezza del cono minore e il suo raggio di base, mentre per ipotenusa ha il suo apotema.
Indichiamo con rm il raggio di base del cono minore e con rM il raggio di base del cono maggiore. Analogamente, con la lettera m indichiamo quanto riferibile al cono minore. Con la lettera M quanto riferibile all cono maggiore.
Ripassando i rapporti di similitudine, possiamo individuare una catena di rapporti.

rm : rM = hm : hM = am : aM

x : 18 = 28 : 84

risolviamo la proporzione

84 x = 504

x = 6 cm

A questo punto calcoliamo il volume del cono minore, approssimando pi greco come sopra scritto

V cono m = (6 x 6 x 3,14) x 28 : 3 cc = 1055 cc (circa)

Otterremo, con discreta approssimazione, il volume del tronco di cono:

V tronco cono = V cono M - V cono m = 28476 - 1055 = 27421 cc (circa)

Provate Voi, ora, con le seguenti misure:

altezza cono maggiore = 56 cm
altezza tronco di cono = 16 cm
raggio cono maggiore = 70 cm
? Volume tronco di cono

Buon lavoro! NR

apotema dei solidi

Gentilissimi, cosa si intende con “apotema di un solido”?

La risposta è semplice, in apparenza: “l’altezza delle facce laterali del solido”.

Questa risposta, tuttavia, lascia sottintese molte spiegazioni. Andiamo con ordine (il solito ordine disordinato della Vostra nonna preferita).

Sapete, certamente, che i solidi possono essere, semplificando, classificati in: poliedri; solidi di rotazione; solidi con facce “miste”, ossia in parte con “facce curve” e in parte con facce piane.

I poliedri possono essere classificati come “retti” o “non retti”. Nel primo caso l’altezza del solido, ossia la perpendicolare al poligono di base, è anche lo spigolo laterale del solido stesso.

I poliedri possono terminare, a volte, con un angoloide. Per angoloide si intende una parte di spazio delimitata da facce piane convergenti in un solo punto, detto vertice del solido. L’angoloide è un “angolo solido”, per così dire.

EccoVi, di seguito, la definizione da wikipedia:

“ […] nella geometria solida, il termine indica: nelle piramidi regolari, la distanza del vertice dal lato alla base; nei coni retti, ladistanza del vertice da un qualsiasi punto della circonferenza di base.”

Consideriamo ora poliedri con un vertice opposto al poligono di base. Possiamo definire tali poliedri come “piramidi”.

Se la base della piramide fosse un poligono regolare, come, ad esempio, un pentagono regolare, oppure un esagono regolare, allora tutte le facce laterali della piramide, nel caso in cui essa fosse, appunto, retta, sarebbero congruenti tra loro.

Se sviluppiamo le facce di tale piramide, noteremmo che essa ha un numero di facce laterali uguale al numero di lati del poligono di base. Per calcolare l’Area della superficie laterale di questa piramide dovremmo conoscere l’altezza di queste facce laterali, ossia il già citato “apotema del solido”.

Per analogia, consideriamo un cono retto. Non potremmo, giustamente, parlare di “poligono” di base, in quanto la base è un cerchio.

Sviluppiamo, comunque, il cono. La superficie laterale sarà data da un settore circolare. In tal caso “l’altezza” del settore circolare, ossia “l’altezza” della faccia laterale sarà data dal raggio del settore circolare ottenuto. Per “apotema”, nel cono, intendiamo così il raggio del settore circolare ottenuto dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono retto.

Un poco complicato, nevvero?

Ora Vi lascio alle formule relative alle aree delle superfici laterali della piramide retta e del cono:

Asl _pir = (2pxas):2 = pxas u²

Con as: apotema del solido

Area della superficie laterale della piramide = perimetro del poligono di base moltiplicato per l’apotema della piramide. Il prodotto ottenuto è diviso a metà.

Ecco la figura relativa allìapotema di una piramide a base pentagonale.

Per il cono:

Asl _cono = Cxacono:2=2πrxacono=a conoxrxπ u ²

Area della superficie laterale del cono = Circonferenza di base per apotema del cono diviso 2.

Per trovare l’apotema del cono si deve applicare il teorema di Pitagora ad un triangolo rettangolo, ovviamente. Il triangolo rettangolo da considerare ha per vertici: il centro del cerchio di base; un punto sulla stessa circonferenza; il vertice del cono. I due cateti saranno il raggio di base e l’altezza del cono, mentre l’ipotenusa sarà data dal segmento che unisce il vertice della piramide ad un punto qualsiasi della circonferenza di base. EccoVi la formula relativa:

a cono = √(r ² + h cono ²) u

EccoVi l'immagine relativa all'apotema del cono retto.

Per quanto riguarda la piramide si tratta di individuare, di volta in volta, analogamente, il triangolo rettangolo a cui applicare convenientemente il teorema di Pitagora.

Per tale motivo è sempre opportuno rappresentare graficamente, sul foglio di lavoro, il triangolo rettangolo considerato, evidentemente indicandone i vertici. È ovvio che i vertici di tale triangolo siano punti della piramide, da rappresentare anch’essa in maniera opportuna.

La formula da applicare è differente da figura a figura, da piramide a piramide, in stretta dipendenza dal poligono base della piramide. Esiste una formula applicabile per i poligoni regolari. Tale formula prende in considerazione l’apotema del poligono di base. Appare evidente che si generi non poca confusione tra “apotema del poligono di base” e “apotema della piramide”.

Per gli amanti degli scioglilingua:

“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base regolare è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del poligono di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta”.

Una volta era considerato sufficientemente semplice imparare l’enunciato della formula per l’apotema della piramide retta a base quadrata. Per gli amanti del vintage, rieccola:

“Per calcolare la misura dell’apotema di una piramide retta a base quadrata è necessario calcolare la radice quadrata della somma tra il quadrato dell’apotema del quadrato di base e il quadrato dell’altezza della piramide retta a base quadrata”.

Forse fashion, vero vintage!

NR, poco fashion e molto vintage

tronco di cono

Gentilissimi, colgo l’occasione per rispondere al Solerte Nicola.

Faccio pure i miei complimenti alla qualificata alla competizione nazionale della Università Bocconi di Milano. Come saprete si tratta di giochi matematici. Se Vi sembra interessante, informate le Vostre nonne preferite. Magari per il prossimo anno scolastico. Per questo anno si terranno il 10 maggio 2014 a Milano. In bocca al lupo a Contenta Lanciacorsafuoristradainautomobile, per gli amici, e per fortuna, detta CL, 150, oppure BG, presumibilmente di Bergamo.

Cosìè un tronco di cono? Provate ad immaginare un trapezio rettangolo. Ora fate ruotare, nello spazio, il poligono attorno all’altezza. Otterrete un tronco di cono.

Provate a visualizzare un cono retto, per semplicità, con vertice verso l’alto. Il cono si trova, anche, facendo ruotare un triangolo rettangolo attorno ad un cateto. Chiamiamo, per comodità, tale cono di partenza C1. Ora dividete il cono in due parti, mediante un piano parallelo alla base. Ecco che tale piano suddividerà il cono in due solidi: un cono comprendente il vertice, ovviamente con un volume minore del cono di partenza (C2), e un altro solido, comprendente il cerchio di base. Tale solido è detto, appunto, tronco di cono.

Il volume del tronco di cono si trova sottraendo il volume del cono C2 dal volume del cono di partenza C1.

V_tc = V_C1 – V_C2 u ³

EccoVi l’immagine relativa.

E, poiché siamo nelle vacanze pasquali, eccoVi altre immagini.

Il basamento dell'uovo di cioccolata è proprio un tronco di cono.

Anche se, sicuramente, avrete con Voi quelli di plastica.

Buona Pasqua! NR

preparazione ad una verifica sui numeri irrazionali

Gentilissimi,
Vi lascio alcuni esercizi in preparazione ad una eventuale verifica sui numeri irrazionali. Evidentemente si tratta solo di "alcuni" esercizi. L'elenco non è, quindi, esaustivo e la Vostra nonna potrebbe metterne di diversi da quelli che, questa, nonna propone.
Buon lavoro! Se reputate importante, inviate le soluzioni con commento. NR, "questa" nonna!

             ₃₈____

A)   √ 374³⁸   =

      ₉₉ __

B)   √ 0   =

₇ ____

C)   √ 37¹⁶   =

_D)          35     ₌

     ___

 √ 8

₆_____

E)   √ 10¹⁸    =

   __         _            ___

F)   √3  ·√6  ·√8  =

   ____              __ _       

G)  √320  : √16  =

  ________

H)  √ 11 · 5 ·  3   =

  ____     ____          ___

I)     √ 64   + √ 144     - ³√ 64    =

J)      INDIVIDUA TRA QUALI INTERI E’ COMPRESA LA SEGUENTE RADICE:

  ____

√ 683

K)    USANDO LE TAVOLE NUMERICHE, APPROSSIMA ALL’INTERO

   ______

√ 2.394  =

₃_______

L)   √72.293  =

M)  USANDO LE TAVOLE E QUANTO APPRESO IN CLASSE RISOLVI CONVENIENTEMENTE

  ____

√ 7,11 =

₃_____

N)  √ 0,429  =

O)   RISOLVI APPROSSIMANDO CONVENIENTEMENTE LA SEGUENTE ESPRESSIONE

₃__       __      ₃___      ___

√43  - √3   + √ 104 - √ 12 

P)    CALCOLA IL VALORE DELLA SEGUENTE PROPORZIONE CONTINUA 

5/7: X = X : 4/7

Q)    CALCOLA L’AREA DEL TRIANGOLO AVENTE I LATI DI LUNGHEZZA

a = 11 cm       b = 7 cm         c = 8 cm

APPROSSIMA CONVENIENTEMENTE IL VALORE DELL’AREA

R)    CALCOLA L’IPOTENUSA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO AVENTE I CATETI LUNGHI RISPETTIVAMENTE c1 = 7    c2 = 11. APPROSSIMA CONVENIENTEMENTE AI CENTESIMI

S)     CALCOLA LA DIAGONALE DI UN QUADRATO CON L’AREA DI 81 CMQ

  ___________

T)   √ 145 : 5