Domande in preparazione ad una verifica di teoria sui numeri relativi

Gentilissimi,
la Gallica Bionda non è riuscita a trovare, sul vostro blog preferito, una preparazione seria sulla teoria dei numeri relativi.
Conoscendomi, penso che Gallica abbia ragione. La Vostra nonna è poco seria.
Tuttavia è possibile rintracciare, in data 4 ottobre 2012, un post relativo a ciò. Il post non è completo e neppure esauriente. Sono solo alcune tra le domande che si possono presentare in una verifica di Teoria.
Provate a rispondere a queste domande. Chiedete, se lo reputate utile, ulteriori informazioni.
Vi lascio ad un concetto di geometria che a molti lascia dubbi e perplessità:
"E' possibile che un angolo sia positivo o negativo?"

Vediamo di rispondere, in sintesi, a questa domanda.
Saprete sicuramente che in un poligono l'Area o la misura del perimetro NON sono mai negativi.
Per gli angoli il discorso dipende fortemente dal contesto.
Se sto parlando di una mappa catastale, della pianta di una città o, più genericamente, di topografia, per definizione, gli angoli come rotazione in senso orario sono detti positivi, quelli in senso antiorario sono detti negativi.
Se cambiamo situazione o contesto e facciamo riferimento, ad esempio, alla rotazione di una retta, su piano cartesiano, gli angoli positivi sono rotazioni in senso antiorario, quelli negativi sono rotazioni orarie.
Anche in astronomia sono positive le rotazioni dei pianeti o dei satelliti antiorarie e negative quelle orarie.
Come avrete sicuramente compreso, per i numeri relativi essere "positivi" o "negativi" dipende dalla situazione. Parliamo di numeri relativi se abbiamo le seguenti caratteristiche:
* un punto origine, che può essere anche diverso dallo zero
* una direzione
* un verso, positivo o negativo (segno del numero)
* una quantità, o modulo, o valore assoluto (modulo del numero)
* una unità di misura
Ad esempio:
Mira è più alta di Delfina di 8 cm. Mira, rispetto a Delfina, è (+ 8) cm.
Ovviamente il punto origine, in questo caso, non è zero! Il punto origine è Delfina.
Se il punto origine fosse Mira, potremmo dire che Delfina, rispetto a Mira, è meno alta di 8 cm. Quindi, con i numeri relativi, Delfina è (- 8) cm.
Provate Voi a fare esempi di questo tipo, cercando, magari, tra le notizie sui quotidiani. Oppure inventate direttamente gli esempi. Se lo reputate utile, inviate il tutto al Vostro blog preferito, mediante commento. Magari la Vostra nonna potrebbe pubblicarlo...
NR, Nonna Recalcitrante (alla pubblicazione...)

esercizi sulle frazioni (ancora...)

Gentilissimi,

Vi lascio alcuni esercizi con frazioni.

Iniziamo con la cosiddetta “semplificazione”. E’ possibile ridurre ai minimi termini una frazione se esiste, tra numeratore e denominatore, un divisore comune che non sia 1. In altre parole, una frazione è irriducibile se numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro.

Ad esempio, la frazione 24/40 ha come numeratore 24 e come denominatore 40. Applicando la proprietà invariantiva delle frazioni possiamo dividere sia il 24 sia il 40 per un medesimo numero, ottenendo una frazione equivalente a quella di partenza.

Dividiamo, ad esempio, entrambi i termini per 4. Otterremo

(24:4)/(40:4) ossia 6/10

Continuando col medesimo procedimento potremmo proseguire come sotto riportato

(6:2)/(10:2) ossia 3/5

La frazione 3/5 è la frazione capostipite, ossia la frazione irriducibile da cui è possibile ricavare tutte le frazioni equivalenti ad essa.

Se applichiamo ad una sola frazione il procedimento sopra esplicato, potremmo meglio parlare di “riduzione ai minimi termini”. Se applichiamo tale procedimento ad una moltiplicazione tra frazioni, sarebbe più opportuno indicare il procedimento come “semplificazione”.

Nella semplificazione possiamo ridurre un qualsiasi numeratore di uno dei qualsiasi fattori, con un qualsiasi denominatore, purché diverso da zero.

Ad esempio, potremmo semplificare la moltiplicazione (8/33)(99/32). Riscriviamo tale operazione:

(8 x 99)

(33x32)

Abbiamo applicato la cosiddetta proprietà associativa della moltiplicazione. L’operazione di moltiplicazione ha, in qualche modo, trasformato le due frazioni fattori in una sola frazione. Tale frazione è semplificabile. Semplifichiamo 8 con 32, dividendo entrambi per 4, ad esempio

(2x99)

(33x8)

Allo stesso modo potremmo semplificare 99 con 33 (per 11) e, ancora, 2 con 8 (per 2)

(1x9)

(3x4)

Semplifichiamo un’ultima volta 3 e 9, per 3

(1x3)

(1x4)

Moltiplichiamo ora tra loro sia i denominatori rimasti sia i numeratori rimasti. Dobbiamo accertarci che la frazione prodotto così ottenuta sia irriducibile. In questo caso otterremo 3 / 4.

Ed ora a Voi:

semplifica le seguenti frazioni

(80/35)                (36/45)                (40/15)                (12/56)                (48/30)                (16/36)                 (66/99)

Risolvi le seguenti moltiplicazioni

(8/15)(30/24)=                                 (2/9)(6/14)(21/20)=                                       (10/21)(49/15)(6/35)=

E ora provate a risolvere, con pazienza, la seguente moltiplicazione

12x60x55x3x8x15x21

33x40x9x2x35x4x3x6

Come al solito, se pensate sia utile, inviate le Vostre soluzioni o i Vostri commenti. NR, Nonna (ir)Riducibile

preparazione test di ingresso di classe terza

Gentilissimi,

la Gallica Bionda ha chiesto di inserire domande di ripasso, nella, non rara, eventualità che le Vostre nonne abbiano intenzione di proporre un test sulle “conoscenze acquisite” durante la classe seconda. Le possibili domande sono, veramente, molteplici. Un elenco, anche solo essenziale, rischia di essere al di sopra delle mie scarse capacità. Posso darVi un solo consiglio: ripassate tutto!

Proverò, tuttavia, a proporne alcune.

1)    Cosa si intende con frazione? Come sono detti i termini di una frazione? Quale è il loro significato?

2)    Indica la proprietà invariantiva delle frazioni. Fai un esempio, non banale, dei due possibili casi (“moltiplicando” o “dividendo”)

3)    Quando una frazione è detta “ridotta ai minimi termini”?

4)    Cos’è una proporzione? Come sono detti i suoi termini? Fai un esempio di proporzione numerica corretta

5)    Indica la proprietà fondamentale delle proporzioni

6)    Fai un esempio, corretto e spiegato, di proporzione non numerica

7)    Quando una proporzione è detta continua?

8)    Spiega, anche mediante un esempio, la proprietà delle proporzioni “del permutare”

9)    Quando due grandezze sono direttamente proporzionali? E quando sono inversamente proporzionali? Fai un esempio corretto dei due casi

10)  Se rappresentiamo grandezze inversamente proporzionali su piano cartesiano, otteniamo una curva caratteristica. Quali sono le caratteristiche di tale curva? Come è detta?

11) Cosa si intende con percentuale? Cosa si intende con sconto? E con interesse semplice?

12) Indica quanto conosci sulla sezione aurea

13) Cosa significa scala di riduzione? Cosa si intende con ingrandimento?

14) Quando un rapporto è detto omogeneo? Fai un esempio corretto

15) Quale è il significato di radice, come operazione? Come sono detti i termini di una radice?

16) In quali contesti della vita quotidiana sono utilizzate le radici?

17) Indica, mediante un esempio, la proprietà “prodotto di radici”

18) Spiega, anche con tue parole, la differenza tra superficie ed area

19) Cosa si intende con tassellatura? Indica un gioco od un oggetto che utilizza le tassellature

20) Indica la formula per calcolare il perimetro di un trapezio isoscele

21) Indica la formula del teorema di Pitagora. Spiega il teorema di Pitagora, anche con tue parole.

22) In quali contesti della vita quotidiana si utilizza, anche indirettamente, tale teorema?

23) Indica e spiega il primo teorema di Euclide

24) Indica e spiega il secondo teorema di Euclide

25) Indica la formula del teorema di Erone

26) Indica la formula per calcolare l’area di un rombo

27) Indica la formula per calcolare l’area di un triangolo isoscele

28) Cosa si intende con rapporto di similitudine. Indica un rettangolo simile ad uno avente base di 12 cm e altezza di 18 cm. Indica quale rapporto di similitudine hai usato

29) Quando due poligoni sono detti isoperimetrici? Fai un esempio corretto

30) Quando due poligoni sono detti equivalenti? Fai un esempio corretto non banale

Spero che siano sufficienti per un rapido ripasso. NR, nonna ripetente (e non nel senso che intendete Voi! O forse sì?)

un errore da nonna urlatrice, o teorema di incompletezza

Gentilissimi,
come, oramai sempre più di solito, accade, la Vostra nonna preferita ha commesso l'ennesimo errore.
Ma come è possibile confondere Cantor con Godel?
Per scusarmi di tale errore, Vi propongo di rileggere due voci da Wikipedia. Ecco i link relativi:

teorema di incompletezza

Godel

Per i più interessati, ecco il link da cui scaricare la dimostrazione completa:

dimostrazione

Scusate ancora! NR, Nonna Recidiva e, speriamo, non Ritardata!

altri esercizi per Barth

Gentilissimi,

il buon Barth ha richiesto ulteriori esercizi, simili ai precedenti. Eccolo accontentato. Ricordate che, se avete bisogno di ulteriori spiegazioni, dovrete chiedere alle Vostre nonne, oppure, per tempo, inviare le Vostre richieste tramite commento.

Buon lavoro!

NR, Nonna richiedente

1)    Riduzione ai minimi termini

Riduci ai minimi termini la frazione 135/105

2)     Frazioni generatrici

Trova la frazione “capostipite” del numero decimale 4,2(5)

N.B.: Ricordo, di nuovo, che il numero in parentesi scritto dopo la virgola indica la parte periodica

3)     Proporzione in N

11 : 6 = 4 : x

4)     Trasformazione di una frazione in %

A quale percentuale corrisponde la frazione 12/25?

5)     Applicazione del teorema di Pitagora

Trova l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che c1=16 cm  e  c2= 12 cm

6)     Semplice espressione in Q

[1/6 + (3/2 + 5/4) : 3/16] x 4/3 =

7)     Calcolo del perimetro di un poligono

Trova il perimetro di un trapezio rettangolo avente base maggiore di 33 cm, lato obliquo di 25 cm e base minore di 13 cm, altezza di 15 cm

8)     Calcolo dell’area di un poligono

Trova l’area di un rombo avente la diagonale maggiore di 24 cm e la diagonale minore di 11 cm

9)     Calcolo in un rapporto: ricerca dell’antecedente

X : 20 = 4

10)  Applicazione delle proprietà delle radici

√25 : √7 =

11)  Frazione come operatore sulla quantità

Calcola i 12/5 di 600

12)  Applicazione del primo teorema di Euclide

Trova il cateto di un triangolo rettangolo, sapendo che la sua proiezione sulla ipotenusa è di 12 cm e la misura dell’ipotenusa è 28 cm

13)  Applicazione del secondo teorema di Euclide

Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente le proiezioni dei due cateti su essa, rispettivamente di 3 cm e 10 cm

14)  Applicazione del teorema di Erone

Trova l’area di un triangolo avente i lati che misurano, rispettivamente, 5 cm, 9 cm, 8 cm

15)  Razionalizzazione del denominatore

Razionalizza il denominatore della frazione 17/√13

16)  Proporzione continua

2 : x = x : 50

17)  Applicazione del rapporto di similitudine per il calcolo di perimetro ed area

Due rettangoli sono in rapporto di similitudine 2 : 3. La base del primo rettangolo misura 12 cm. L’altezza del secondo rettangolo misura 21 cm. Calcola perimetro ed area dei due rettangoli

18)  Ingrandimento o riduzione di scala

Una fotografia riproduce, ingrandito 5: 1, un quadro. Sulla fotografia il quadro è un rettangolo con base 190 cm e altezza 150 cm. Quali sono le dimensioni originali del quadro?

19)  Calcolo del lato di un quadrato, conoscendone l’area

Un quadrato ha area di 81 cmq. Calcola il perimetro del quadrato.

20)  Applicazione delle proprietà delle proporzioni (comporre o scomporre)

(23 + x) : x = 18 : 7

Al solito, potete spedire i Vostri risultati, se lo ritenete utile, mediante commento! NR, bis

per un test di ingresso in terza

Gentilissimi,

finalmente, o per sfortuna, diranno alcuni di Voi, dopo una settimana circa di “inizio scuola”, si riprende il quotidiano lavoro nelle aule. Solitamente le nonne di Matematica propongono agli alunni un momento di ripasso, corredato o meno da un test di ingresso o da una verifica scritta.

Particolare attenzione viene data ai ragazzi di terza media, o scuola secondaria di primo grado, che dir si voglia.

Per agevolarVi, propongo, di seguito, alcune tipologie di esercizi di ripasso. Ricordate che sono solo alcuni esercizi, tra quelli possibili. Ricordate pure che le Vostre nonne potrebbero assegnarVene altri, o di altre tipologie. Chiedete sempre informazioni, prima della verifica e non dopo o durante la stessa.

1)     Riduzione ai minimi termini

Riduci ai minimi termini la frazione 132/66

2)     Frazioni generatrici

Trova la frazione “capostipite” del numero decimale 6,1(7)

N.B.: Ricordo che il numero in parentesi scritto dopo la virgola indica la parte periodica

3)     Proporzione in N

7 : 4 = x : 9

4)     Trasformazione di una frazione in %

A quale percentuale corrisponde la frazione 7/4?

5)     Applicazione del teorema di Pitagora

Trova l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sapendo che c1=7 cm  e  c2= 5 cm

6)     Semplice espressione in Q

[3/2 + (1/6 + 7/4) : 12/5] x 2/3 =

7)     Calcolo del perimetro di un poligono

Trova il perimetro di un trapezio isoscele avente base maggiore di 16 cm, lato obliquo di 7 cm e base minore di 9 cm

8)     Calcolo dell’area di un poligono

Trova l’area di un parallelogramma avente la base di 15 cm e l’altezza di 8 cm

9)     Calcolo in un rapporto: ricerca dell’antecedente

X : 11 = 8

10)  Applicazione delle proprietà delle radici

√15 : √3 =

11)  Frazione come operatore sulla quantità

Calcola i 7/6 di 420

12)  Applicazione del primo teorema di Euclide

Trova il cateto di un triangolo rettangolo, sapendo che la sua proiezione sulla ipotenusa è di 8 cm e la misura dell’ipotenusa è 18 cm

13)  Applicazione del secondo teorema di Euclide

Calcola l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente le proiezioni dei due cateti su essa, rispettivamente di 6 cm e 9 cm

14)  Applicazione del teorema di Erone

Trova l’area di un triangolo avente i lati che misurano, rispettivamente, 7 cm, 11 cm, 6 cm

15)  Razionalizzazione del denominatore

Razionalizza il denominatore della frazione 11/√6

16)  Proporzione continua

15 : x = x : 60

17)  Applicazione del rapporto di similitudine per il calcolo di perimetro ed area

Due rettangoli sono in rapporto di similitudine 2 : 5. La base del primo rettangolo misura 14 cm. L’altezza del secondo rettangolo misura 20 cm. Calcola perimetro ed area dei due rettangoli

18)  Ingrandimento o riduzione di scala

Una fotografia riproduce, in scala di riduzione 1 : 16, un quadro. Sulla fotografia il quadro è un rettangolo con base 9 cm e altezza 7 cm. Quali sono le dimensioni originali del quadro?

19)  Calcolo del lato di un quadrato, conoscendone l’area

Un quadrato ha area di 49 cmq. Calcola il perimetro del quadrato.

20)  Applicazione delle proprietà delle proporzioni (comporre o scomporre)

(19 – x) : x = 8 : 5

Buon lavoro! Buon ripasso! Come sempre, se ne sentite la necessità e l’impellenza, inviate pure soluzioni e commenti al Vostro blog preferito. NR

AIMEE BENDER

Gentilissimi,
lascio, a Voi e a tutti coloro che non sanno cosa leggere a ferragosto, oppure che esitano a svolgere i, speriamo, pochi esercizi di Matematica assegnati dalle nonne per compito, un suggerimento.
Il libro che Vi consiglio di leggere è "Un segno invisibile e mio", di Aimee Bender.
Da esso è stato tratto anche un film, il cui titolo, in italiano, è "I numeri dell'amore".

E se ancora non avete svolto alcun compito di matematica, allora sappiate che "La vita è molto più dura della matematica" (A. Bender)

Una nonna tra l'accaldato e il melanconico. NR