E per le vacanze? (Seconda - 1)

Gentilissimi secondini, o guardie carcerarie, che dir si voglia,

ecco, solo per Voi, una serie di esercizi di ripasso, molto adatta per le vacanze estive. Si tratta di 9 serie di esercizi, da 10 esercizi cadauna, per un totale di 9x10=90 esercizi (uno al giorno!).

Come sempre, se Vi va, potrete inviare le Vostre soluzioni per commento.

a)      Indica la proprietà invariantiva delle frazioni. Applica tale proprietà nei due modi “moltiplicando o dividendo” alla frazione 12/14

b)      Rappresenta, mediante quadrato apposito, la frazione 7/8

c)      Calcola i 4/5 di 200

Calcola i 3/2 di 2/7

d)      Se i 5/9 di un numero sono 15, di quale numero si tratta?

Se i 7/10 di un numero sono 3/8, di quale numero si tratta?

e)      X:5=8

X:11/3=3/4

f)       Rappresenta un rettangolo in cui le dimensioni siano una 5/9 dell’altra

g)      Palmiro ha fatto un viaggio in camion. Ha percorso 144 km, pari ai 3/7 dell’intero percorso. Quanti km è l’intero tragitto?

h)      Un’ora è formata da 60 minuti. A quale frazione, ridotta a “capostipite”, è rappresentata da 4 minuti? Cosa si intende con “frazione capostipite”, o “ridotta ai minimi termini”?

i)       Giovanni, in allenamento, para 6 rigori su 20 rigori tirati. A quale percentuale corrispondono i rigori parati? In tale situazione, a quale tipologia di rapporto si fa riferimento?

j)       6 coni gelato sono confezionati in una scatole. La famiglia Golosoni ha acquistato 23 scatole di coni. Alla sera del primo giorno mamma Golosoni scopre che mancano già 42 coni. Quale frazione corrisponde alla parte restante? Dopo aver risolto il problema, indica, anche con Tue parole, cosa si intende con frazione complementare

Buone vacanze! Una nonna Ridotta (male, ma “ridotta”!)

E per le vacanze? (Prima - 1)

Gentilissimi,
e per i compiti delle vacanze?
Non preoccupateVi troppo. Vi lascio, in una serie di post ad hoc (non so se avete notato il perfetto latino...), gli esercizi del caso e non a caso.
Per alcuni giorni, a giorni alterni, inserirò esercizi di ripasso. Mi raccomando: uno al giorno e poco per volta. Se non riuscite a risolvere un esercizio, inviate commenti.
Partiamo, giustamente, con la classe prima A.
Ecco la prima serie di esercizi. Ricordo di ripassare gli appunti presi in classe ed eventualmente, rifare i "pallini rossi" (mistero per i non adepti!).
Poiché i giorni di vacanza sono circa 90, faremo 9 serie di esercizi da 10 esercizi ognuna.
Partiamo:
a) Scrivi, nei 5 modi appresi in classe (COLPE), il numero 21.963
b) Ordina, in modo crescente, i seguenti numeri decimali:
      2,34     23,4     234     0,23    0,2    2,3    0,234    0,34   3,4
c) Conta le lettere contenute in questa frase
d) Quante sono le stelline di questo albero di Natale?

e) Scrivi l'alfabeto italiano ordinato (senza k,j,x,y,w). Se la lettera h fosse la prima lettera, a quale numero ordinale corrisponderebbe la lettera e?

f) Applica, all'operazione 120:4 la proprietà invariantiva della divisione "nei due modi" (moltiplicando e dividendo). Scrivi la proprietà invariantiva della divisione

g) Applica la proprietà distributiva ("il primo con il primo, il primo con il secondo, ...") alla seguente operazione

(8+3+4)x(5+2+9)= ...

Risolvi, in seguito, l'espressione ottenuta

h) Utilizza Internet per risolvere il seguente problema:

Somma l'annus mirabilis di Einstein con il numero K delle Nozze di Figaro di Mozart. Dividi il risultato per il numero di Hobbit che hanno accompagnato Frodo nella Compagnia dell'anello. Quale numero naturale si ottiene? Presta attenzione ai dati del problema (e agli hobbit!).

i) Rappresenta, su piano cartesiano, i punti A(2;5) B(6;1). Rappresenta la retta passante per i due punti.

l) Al seguente link è possibile reperire la classifica finale dei 100 m piani alle olimpiadi di Londra. Riordina la tabella sul Tuo quaderno mettendo gli atleti in ordine alfabetico per cognome. Ricorda che Usain è il nome e Bolt il cognome.

finale

Alla prossima serie di esercizi. E domani quelli di classe seconda (che, ovviamente, andranno in terza!).

NR, nonna ripetente

quasi un saluto

Gentilissimi,
lascio a Voi e alle Vostre famiglie un ulteriore motivo di approfondimento sulla didattica della matematica. Raccolgo, dal corposo testo, una sola tra le numerosissime citazioni possibili:

<<Sono convinto che nella scuola [...] si deve [sic!] puntare sulla qualità e non sulla quantità, sul piacere della scoperta e della soluzione di un problema, sulla motivazione e sul coinvolgimento attivo di tutti gli alunni. Per un ragazzo l’obiettivo più importante è quello di scoprire il piacere di fare matematica. Raggiunto questo obiettivo, i docenti possono pensare di raggiungere tutti gli altri.>>

Ecco il link relativo:

didattica matematica

NR, nonna revenant

Esercizi per il Portiere interrotto

Gentilissimi,

no! Non ho, per ora, cambiato professione. Non ho il patentino per allenatori emesso a Coverciano. Solo che il Portiere interrotto ha richiesto ulteriori esercizi su rapporti, percentuali, proporzioni.

Nel blog ve ne sono già alcuni. Tuttavia, per accontentare il Portiere, eccoVene altri:

a)      X:3=15

b)      X:2/3=5/2

c)      7:x=11

d)      5/4:x=2/5

e)      4:2=x

f)       7/10:14/5=x

g)      Ad un maglione dal costo di euro 250,00 è applicato lo sconto del 25%. Quanto sarà pagato alla cassa quel maglione?

h)      Alla somma, o capitale, di 1200,00 euro è applicato l’interesse annuo del 5%. Quale somma sarà disponibile dopo un anno?

i)       13%+28%=

j)       Calcola il 10% del 25% di una somma di denaro

k)      [questo esercizio non riguarda le proporzioni, NR, non riguardante]

Trova l’ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti di cm 11 e cm 6 rispettivamente

l)       3:7=x:5

m)    8/9:2/5=3/4:x

n)      Trasforma i numeri decimali in frazioni generatrici. In seguito risolvi la proporzione

0,8 : 1,(1) = X : 0,0(3)

Ricordo che le cifre decimali in parentesi sono periodiche

o)     √32 : √16 = x : √2

p)      2:√5=x:9

q)      8:x=x:2

r)       5/6:x=x:5/24

s)      x: √72 = √2 :x

t)       Un rettangolo ha la base che misura 5 cm e l’altezza che misura 8 cm. Viene ingrandito 5:1. Quali saranno le dimensioni della rappresentazione?

u)      In scala 1:8 un rettangolo ha le dimensioni di cm 32 e cm 12. Quali sono le dimensioni reali?

v)      (8+x):x=11:4

w)    (3/2+x):x=5/3:1/6

x)      (13-x):x=21:6

y)      (2/7-x):x= 3/14:9/2

Risolvi attentamente, utilizzando i procedimenti che le Vostre nonne Vi hanno spiegato in classe. NR

retta dei relativi e radici

Gentilissimi,

lo Youtuber Biondino ha chiesto delucidazioni sulla rappresentazione di radici di numeri relativi su retta orientata.

Certo che siete proprio esigenti, nevvero? E, magari, stare attenti alle spiegazioni delle Vostre nonne?

Dopo le “sgridate di rito”, passiamo alla richiesta.

Come ben sapete, o dovreste sapere, l’operazione di radice, o estrazione di radice, è considerata, a volte, una operazione inversa dell’elevamento a potenza. Altre situazioni presentano la radice come numero irrazionale, oppure come soluzione di equazioni.

L’indice della radice, ossia il “numerino” in alto a sinistra, posto fuori dalla radice, indica, in effetti, il numero di soluzioni possibili per quella operazione. Il termina sotto alla radice è, come ben sapete, radicando.

Con i numeri relativi si presentano, escludendo alcuni casi particolari, 4 tipologie di estrazione di radice:

a)      Radicando positivo, indice dispari

b)      Radicando negativo, indice dispari

c)       Radicando positivo, indice pari

d)      Radicando negativo, indica pari

Il caso a) presenta un numero di soluzioni dato dall’indice della radice. Per esempio, una radice quinta avrà 5 soluzioni. Per i numeri relativi possiamo considerare anche una sola soluzione, concorde al radicando. Il punto immagine corrispondente sarà rappresentato, su retta orientata, in corrispondenza, approssimando la radice, quando necessario. Per esempio ⁵√+30 avrà 5 soluzioni, di cui una concorde, ossia positiva. Se il radicando fosse +32 la soluzione relativa sarebbe (+2). Essendo (+30), potremmo approssimare indicando un punto, a destra del punto origine, posto poco prima di (+2).

Il medesimo procedimento si può utilizzare con il caso b). E’ da tenere in considerazione che si tratta di un numero negativo. La soluzione relativa sarà, nuovamente, concorde. Facendo un esempio ⁷√-3 ha una soluzione concorde, ossia negativa. Approssimando, la soluzione negativa è poco maggiore di 1, ossia di poco a sinistra di (-1), in quanto il radicando è negativo. Utilizzando frasi di post precedenti, “tra (-2) e (-1), più vicino a (-1)”.

Il caso c), con radicando positivo e indice pari, presenta almeno due soluzioni rappresentabili su retta dei Relativi. Poiché, come ben sapete dalla classe prima, sulla medesima retta NON è possibile utilizzare due punti con lo stesso nome, è possibile ovviare a ciò, forse poco “matematicamente”, mediante una parentesi graffa. Per esempio, il punto immagine A del numero (√+16) ha due soluzioni. Tali soluzioni sono (+4) e (-4). Sopra alla retta faremo una parentesi graffa che abbia gli “uncini” in corrispondenza dei numeri (-4) e (+4). Dove si trova “la punta” della graffa, indicheremo la lettera corrispondente e la radice A(√+16).

Il caso d), invece, è impossibile in R. Tuttavia è possibile con i numeri immaginari e complessi. A questo punto non resta che chiedere delucidazioni alle Vostre nonne. Si presentano due possibilità:

·         Potrete indicare il punto, con lettera, NON sulla retta orientata, ma, per esempio, poco sotto

·         e/o potrete utilizzare la simbologia corrispondente, indicando che, per esempio

B(⁴√-17)

Oppure, semplicemente, scrivendo B(⁴√-17) impossibile in R

Ed ora tocca a Voi!

Rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(⁴√+81)   B(⁶√-13)   C(√+64)   D(³√+125)    E(⁵√+100000)

Un piccolo aiuto: il punto A corrisponde al caso “radicando positivo, indice pari”, caso c). avremo la possibilità di trovare due soluzioni su retta R. Facciamo ci la domanda seguente: “Quale numero, moltiplicato per se stesso 4 volte (nxnxnxn) ha come risultato 81?”. Ossia, quale base, elevata alla quarta, ha potenza 81? Evidentemente 3! Infatti 3 alla quarta è 81. 3 exp 4=81, oppure 3 ⁴ =81. Leggendo il caso c) dovremmo avere due soluzioni sulla retta. Tali soluzioni sono discordi. Quindi si tratta delle soluzioni (+3) e (-3). Le altre due soluzioni mancanti non sono sulla retta R. utilizziamo la parentesi graffa. Partiamo dagli uncini della graffa, ossia “pinziamo” i punti sulla retta corrispondenti a (+3) e (-3). Alla “punta” della graffa mettiamo A(⁴√+81).

Ricordo, inoltre, di mettere, oltre a dati e consegna, le “5 regole per la retta orientata”, già precisate in più occasioni.

Buon lavoro! E, se volete, potrete inviare, per commento, le Vostre soluzioni al blog presente.

NR, nonna radice

... e con le frazioni? Rappresentazione di frazioni "relative" su retta Q

Gentilissimi,

il Biondino Accentato ha chiesto spiegazioni ulteriori sulla rappresentazione di frazioni con numeri relativi su retta orientata.

Come già indicato in post precedenti, è necessario impostare la retta orientata, mediante le 5 caratteristiche, riprese pure nel precedente post: retta orizzontale orientata a destra, con punto origine, unità di misura appropriata e nome della retta. Per le frazioni sarebbe opportuno retta Q (rQ). Oppure un nome minuscolo adeguato.

Ricordo come sia necessario conoscere la distinzione tra frazioni proprie, improprie, apparenti.

Ripassiamo brevemente:

·         Frazioni proprie: sono minori dell’intero ma non nulle. Si rappresentano tra 0 e 1

·         Frazioni improprie: sono maggiori dell’intero, ma non sono interi. Si rappresentano a destra di 1, e non sono rappresentate coincidenti con numeri naturali

·         Frazioni apparenti: si rappresentano coincidenti con un numero naturale

Rimando, in merito, ad un post precedente relativo alla rappresentazione di frazioni su retta.

Poiché parliamo di numeri relativi, le frazioni proprie si rappresentano sempre tra 0 e 1, ossia tra 0 e (+1) se positive; tra 0 e (-1) se negative. Spiegando ulteriormente, se una frazione relativa è propria positiva si trova il suo punto immagine tra 0 e (+1). Se la frazione relativa è propria e negativa, il suo punto immagine è tra (-1) e 0. Ovviamente sarebbe opportuna una unità di misura, in “quadratini”, che sia multipla del mcd dei denominatori presenti. È possibile utilizzare pure, con buona approssimazione, una unità di misura doppia (2 quadratini, per esempio).

Per le frazioni apparenti è sufficiente, in colonna ausiliaria, semplificare la frazione. Si mettono le lettere sopra alla retta e si utilizza convenientemente il simbolo di coincidenza.

Per le frazioni improprie si possono utilizzare sia la divisione sia la definizione di denominatore. È sufficiente porsi una domanda: “Tra quali multipli del denominatore è compreso il numeratore?”. Oppure: “Il quoziente tra numeratore e denominatore quale è?”. Il punto immagine corrispondente sarà compreso tra 2 numeri naturali.

Facciamo un esempio. Il numero P(17/3) è dato da una frazione impropria. Se faccio la tabellina del 3, ossia del denominatore, il 17 (numeratore) è compreso tra 15=3x5 e 18=3x6, ossia tra il quinto e il sesto multiplo. Per questo 17/3, ossia il punto P, sarà rappresentato tra 5 e 6. Poiché 17 è “più vicino” al 18, P sarà “più vicino” a 6. “Tra 5 e 6, ma più vicino a 6”.

Consideriamo punti immagine con numeri relativi Q.

A(-2/7)   B(+2/9)   C(-14/7)   D(+21/7)

A e B sono frazioni proprie. A è positivo, quindi si rappresenta tra 0 e (+1). Poiché il 2 è più vicino a 0 che a 7, ossia al denominatore, sarà rappresentato “tra 0 e +1, più vicino a 0”.

B è negativo, ma è un punto rappresentativo di una frazione propria. Sarà rappresentato tra 0 e (-1). Sarebbe meglio dire tra (-1) e 0. Il numeratore 2 è più vicino a 0 che a 9, quindi “tra -1 e 0, più vicino a 0”.

C e D sono frazioni apparenti. Quindi il loro punto immagine coincide con un numero intero (numero Z). C, semplificando, e considerando il segno meno, coincide con (-2). D, semplificando, essendo positivo, coincide con (+3).

Consideriamo i punti immagine seguenti:

E(- 13/2)   F(-7/4)   G(-17/8)   M(+19/4)   P(+11/2)   S(+7/3)

Il punto E è una frazione impropria negativa. Si rappresenta a sinistra di O. Se facciamo la divisione semplice 13:2 si ottiene 6,5. Il punto immagine si rappresenta tra 6 e 7, esattamente a metà. Essendo negativo si rappresenterà tra (-7) e (-6), a metà.

F, impropria negativa, ha denominatore 4. Il 7 si trova tra i multipli di 4 seguenti: 4 e 8, più vicino a 8. Rappresenteremo F, tra 1 e 2, ossia tra (-1) e (-2), in quanto negativo. Essendo “più vicino a 8, sarà più vicino a (-2), ossia più lontano dall’origine.

Per G, con il medesimo procedimento, troviamo che si rappresenta tra (-3) e (-2), in quanto i multipli corrispondenti di 8 sono 16 e 24, ossia il secondo e terzo multiplo. 17 è più vicino a 16, quindi G sarà rappresentato più vicino a (-2), tra (-3) e (-2).

Se mi sono spiegata bene, potrete comprendere come:

·         M(+19/4) sia rappresentato tra (+4) e (+5), più vicino a (+5)

·         P(+11/2) sarà rappresentato tra (+5) e (+6), esattamente a metà

·         S(+7/3) sarà rappresentato tra (+2) e (+3), più vicino a (+2)

Ora provate Voi:

rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(-13/5)   B(+34/7)   C(+15/2)   D(-23/10)   E(+9/2)

Buon lavoro! Nonna Rosa, NR

retta Z (rappresentazione di numeri interi relativi su retta

Gentilissimi,

cosa accade quando si devono rappresentare numeri relativi su retta orientata?

Consideriamo dapprima le 5 caratteristiche essenziali:

1)      Retta orizzontale (retta, e non semiretta)

2)      Retta con freccia a destra, orientata

3)      Scelta del punto origine O, corrispondente, quasi sempre, al numero 0

4)      Scelta di una unità di misura u

5)      Denominazione della retta (retta R potrebbe essere la denominazione adatta)

A destra del punto origine si trovano i numeri relativi positivi, mentre a sinistra si trovano quelli negativi. Sarebbe opportuno indicare sempre almeno un numero positivo ed uno negativo.

Prendiamo, per esempio, i punti immagine seguenti:

A(-6)   B(+2)   C(0)   D(|-3|)   E(-|-4|)

Il punto immagine A si trova a sinistra del punto origine. Conto 6 unità, partendo da O, andando a sinistra. Scrivo il nome del punto A, meglio se sopra alla retta, e metto in parentesi tonde il numero (-6). Allo stesso modo il punto B è a destra, essendo positivo. Mi sposto verso destra, partendo da O. scrivo la lettera-nome del punto, metto in tonde il numero (+2).

Il punto C coincide con l’origine dei numeri relativi. Scriverò CΞO, ossia indico che il punto immagine C e l’origine sono coincidenti. Metto in tonde il numero (0).

Per i punti D ed E è necessario considerare il modulo. Le parentesi verticali non sono parentesi quadre. Indicano la quantità considerata dal numero relativo. Che tale numero sia positivo o negativo, a tal fine, poco conta. La parentesi-modulo indica il valore assoluto del numero. Il valore assoluto è sempre positivo. Il punto D si trova a destra, quindi. Il punto immagine coincide con il valore (+3). Scrivo su +3 la lettera D. indico la coincidenza tra (+3) e (|-3|), ossia (+3) Ξ (|-3|).

Il punto E è indicato da parentesi modulo, ossia è positivo. Tuttavia, davanti alla parentesi modulo si trova il segno meno. Tale segno indica che, sulla retta, al posto di spostarmi verso destra, devo spostarmi, da O, verso sinistra, di tante unità quante indicate dal valore assoluto. In altre parole il punto E è rappresentato come se fosse a sinistra, coincidente con il numero (-4). Su tale numero scrivo E, sotto alla retta indico la coincidenza (-4) Ξ(-|-4|).

Semplice, non credete?

Ora provate Voi:

Rappresenta, su retta orientata, i seguenti punti immagine:

A(-6)   B(+5)   C(|+8|)   D(-|-2|)    E(-2)

Prestate attenzione alle eventuali coincidenze tra i punti, utilizzando l’apposito simbolo.

NR, una nonna rettilinea