lunedì 2 marzo 2020

numeri binari (2)


Gentilissimi e gentilissime,
proviamo a trasformare un numero del sistema decimale in numero binario. Riprendiamo la tabella che è presente su un post precedente:






2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









Come potete notare, sono vuote la prima e l’ultima riga. Consideriamo un numero come esempio:
197
Ovviamente, se tale numero fosse maggiore di 256, e minore di 512, dovremmo ampliare la nostra tabella con una colonna a sinistra, inserendo la potenza 2 alla ottava. Continuando ad inserire colonne a sinistra, e relative potenze di 2, potremmo, teoricamente, scrivere in codice binario qualsiasi numero. Per comodità, negli esercizi, si giunge, solitamente, come “colonna ultima”, alla potenza 2 alla decima.
Riprendiamo l’esempio: dal numero 197 possiamo sottrarre 128? Se la risposta è SI’, come in questo caso, SOPRA al 128, ossia sopra alla potenza 2 7, scriviamo 1, nel modo seguente:
1







2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









Eseguiamo la sottrazione: 197-128=69. Consideriamo tale differenza “come se fosse” il numero da trasformare. Procediamo allo stesso modo. Ovviamente dobbiamo prendere in considerazione la potenza con esponente immediatamente inferiore, ossia 2 alla sesta = 64.
Dal numero 69 possiamo sottrarre 64? La risposta, ancora una volta, è SI’. Quindi, sopra al numero 64 della tabella, nella prima riga, scriveremo 1. Otterremo la tabella seguente:
1
1
0





2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









Proseguiamo analogamente! Calcoliamo la differenza: 69-64=5. Prendiamo 5 come numero da trasformare.
Consideriamo la potenza immediatamente inferiore. Possiamo togliere 32 da 5, ossia, nei numeri naturali, possiamo eseguire la sottrazione 5-32? La risposta, questa volta, è NO. Sopra il 32 e 2 alla quinta scriveremo 0. Consideriamo la potenza immediatamente inferiore, ossia 16 e procediamo analogamente.
Anche in questo caso, in N, non è possibile eseguire l’operazione 5-16. Scriveremo, nella prima riga, sopra al 16, uno zero. Avverrà la stessa cosa con 8. Scriveremo 0. Otterremo una tabella come la seguente:


1
1
0
0
0



2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









L’operazione 5-4, invece, è possibile. Infatti 5-4=1. Sopra il 4 scriveremo 1. Consideriamo tale differenza come numero da trasformare.
1-2 non è possibile. Sopra il 2 alla prima scriveremo 0.
Consideriamo 1. 1-1=0 sopra 2 0 scriveremo 1. Otterremo la tabella seguente:
1
1
0
0
0
1
0
1
2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









Trascriviamo, per controllo, i valori che corrispondono, nella prima riga, a 1, nel modo seguente:
1
1
0
0
0
1
0
1
2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1
128
64



4

1

Sommiamo, per controllo, tali numeri:
128+64+4+1=197
Se tale controllo è corretto possiamo scrivere il risultato, come spiegato in un post precedente. Scriviamo il numero iniziale, con al pedice, la base 10. Dopo le doppie frecce, ricopiamo la prima riga:

197 (10) ↔ 11000101 (2)

Provate Voi: trasformate il numero 209 in numero binario.
Al solito, inviate pure per commento le Vostre risposte e richieste.

NR, Nonna Rispondente (speriamo, alle aspettative!)

Pubblicato da alle 5 commenti:

domenica 1 marzo 2020

CENNI a i numeri binari (prima parte)


Gentilissimi e gentilissime,
Vi propongo un metodo, forse non perfetto, solo funzionante sulla trasformazione da numeri naturali a  numeri binari.
Come ben saprete, i numeri binari sono utilizzati dall’informatica e dalle nuove telecomunicazioni. Si tratta di una serie di cifre 1 e 0. Oppure si possono indicare con “SI’” e “NO”, “acceso” e “spento”, “presente” e “assente”, o altre dicotomie simili.
Ogni cifra è detta “bit”. 4 cifre sono dette “nibbie”, mentre 8 cifre formano il “byte”.
Ovviamente non dobbiamo confondere un bit con un byte. E, di conseguenze, un chilobit, “Kb”, con un chilobyte, “KB”, maggiormente utilizzato.
Passiamo alle trasformazioni. Se il sistema è binario, significa che potremo utilizzare solo 2 cifre, 0 e 1 , appunto. Per questo motivo i numeri sono “trasformabili” utilizzando le potenze con base 2. Scriviamo un numero binario di 8 bit, ossia un byte:
10011011
Come nel sistema decimale le cifre assumono valore maggiore partendo da destra verso sinistra. Proprio come nel numero 248: 8 sono le unità, 4 le decine, ossia 40 unità, 2 sono le centinaia, ossia 200 unità.
Trascriviamo in una apposita tabella il numero binario, inserendo una cifra per ogni cella, partendo proprio da destra. Per comodità metto in rosso la prima cifra, nel modo seguente:
10011011
Inserisco in tabella:
1
0
0
1
1
0
1
1

























Nella riga sottostante inseriamo le potenze con base 2, partendo da 2 elevato alla zero, sempre partendo da destra. La tabella si presenterà così:
1
0
0
1
1
0
1
1
2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0

















Nella riga sottostante, la terza, inseriamo i valori relativi alle potenze con base 2, nel modo seguente:
1
0
0
1
1
0
1
1
2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1









Le potenze di 2 sono anche “il doppio del doppio…”. Osserviamo ora la prima riga. Se, nella colonna, alla prima riga, è presente la cifra binaria 1, trascriveremo il valore trovato nella terza riga; in altro caso, se nella cella è presente 0, non scriveremo nulla. Otterremo una tabella come la seguente:
1
0
0
1
1
0
1
1
2 7
2 6
2 5
 2 4
 2 3
2 2
2 1
2 0
128
64
32
16
8
4
2
1
128


16
8

2
1

Ora sommiamo i numeri trovati nell’ultima riga, quelli scritti in blu:
128+16+8+2+1 = 155
In altre parole 10011011, come numero binario, corrisponde a 155 come numero nel sistema decimale.
Il risultato, a volte, è scritto così:

100011011 (2) ↔ 155 (10)

Provate Voi! Trasformate il numero binario seguente in numero decimale:

11010100

Al solito, se volete, potrete inviare le Vostre soluzioni come commento.
NR, Nonna Rosa

Pubblicato da alle 2 commenti:

correzione verifica calcolo letterale (5)


Gentilissimi e gentilissime,
proseguiamo con l’ipotetica e virtuale correzione di una verifica di calcolo letterale.
Nel presente post affronteremo la moltiplicazione tra due polinomi e la divisione “polinomio : monomio”, lasciando a classi superiori la divisione tra polinomi.
Facciamo un esempio:
·        (-3 a4b3 + 5 a3b2 -4 a2b) (-6 a2 + 10 ab)
Potremmo applicare la proprietà distributiva della moltiplicazione (“il primo per il primo, il primo per il secondo, …”. Vi propongo, oggi, un metodo alternativo. Proveremo a risolvere tale operazione mediante una tabella a doppia entrata.
Costruiamo la tabella, osservando quanti monomi compongono il primo fattore. In questo caso sono 3. La nostra tabella avrà 3 righe, oltre a quella iniziale.
Osserviamo, in seguito, quanti monomi compongono il secondo fattore. In questo caso sono due. La nostra tabella, oltre a quella iniziale, avrà 2 colonne.
Inseriamo, in ogni cella della prima colonna, i singoli monomi del primo fattore, nel modo seguente:


          ·


-4 a2b


+ 5 a3b2


-3 a4b3



Inseriamo i singoli monomi del secondo fattore nella prima riga, nel modo seguente:
          ·
-6 a2
+ 10 ab
-4 a2b


+ 5 a3b2


-3 a4b3



A questo punto consideriamo le celle vuote. In esse si troverà il polinomio prodotto. Prendiamo una singola cella vuota. Per esempio la seconda cella della seconda riga. A sinistra, in corrispondenza, troviamo il monomio (+ 5 a3b2); in alto, in corrispondenza verticale, troviamo il monomio (+10 ab). Moltiplichiamo i due monomi e, nella cella considerata, scriviamone il loro prodotto, come spiegato in un post precedente (ricordo “SCLER0”). Otterremo (+ 50 a4b3).
          ·
-6 a2
+ 10 ab
-4 a2b


+ 5 a3b2

+ 50 a4b3
-3 a4b3



Completiamo, procedendo allo stesso modo, con le altre celle rimaste vuote. Otterremo una tabella così completata. I prodotti parziali sono in neretto:
          ·
-6 a2
+ 10 ab
-4 a2b
+ 24 a4b
-40 a3b2
+ 5 a3b2
-30 a5b2
+ 50 a4b3
-3 a4b3
+ 18 a6b3
-30 a5b4

Osserviamo se vi siano monomi simili. Se del caso, sommiamoli tra loro. Nell’operazione presente non si trovano, tra quelli in neretto, monomi simili. Trascriviamo i singoli monomi in ordine decrescente per la lettera “a”.


(-40 x5y4 + 20 x4y2 – 15 x3y) : (- 5 x2y)Osserviamo se vi siano monomi simili.

Se del caso, sommiamoli tra loro. Nell’operazione presente non si trovano, in neretto, monomi simili. Trascriviamo i singoli monomi in ordine decrescente per la lettera “a”.
Ecco cosa otterremo:
+ 18 a6b3 -30 a5b4 -30 a5b2 + 50 a4b3 + 24 a4b -40 a3b2
Personalmente ho riordinato i monomi con uguale grado relativo della lettera a basandomi sul grado assoluto dei monomi, messi in ordine decrescente. Sono possibili, e, a volte, preferibili, altre modalità di “riordino”. Chiedete sempre alle Vostre Nonne come procedere.
Ora tocca a Voi. Provate a risolvere, con il metodo che preferite, la seguente moltiplicazione tra polinomi:

(-3c4d3 + 2 c3d2 – 5 cd) (+6c3d3 – 10 c2d2)

Passiamo alla divisione tra un polinomio e un monomio:
Come prima cosa, delimitiamo il campo di esistenza. Il divisore NON deve essere uguale a zero! Per ovviare a ciò è sufficiente indicare le singole lettere del divisore diverse da 0.
C.E. x≠0; y≠0
Ora applichiamo la proprietà distributiva verso destra. Per le Vincenti Venusiane, come pure per gli Agriturismi, si potranno utilizzare “a matita” le “freccette” (non rivolgendole verso i compagni o i docenti, Nonne comprese!). Per Parrucchiere e Batteristi, “tra una parentesi quadra chiusa e una aperta inseriamo obbligatoriamente il segno “+”. Otterremo quanto segue:
[(-40 x5y4): (- 5 x2y)] + [(+ 20 x4y2): (- 5 x2y)] + [( – 15 x3y ): (- 5 x2y)]
Ora risolviamo, sempre con “SCLER0”. Ricordo che, se non è indicato l’esponente, è sottinteso exp 1. Ricordo, inoltre, che, nella proprietà “quoziente di potenze con la stessa base” si sottraggono gli esponenti, ovviamente della stessa lettera. Se l’esponente di una lettera è 0, non scriviamo quella lettera:
[(+8 x3y3)] + [(- 4 x2y)] + [( +3 x )]
Togliamo le parentesi ed i segni “+”, presenti tra una quadra e l’altra, ed avremo il quoziente cercato (salvo fatti errori “nonneschi”!):
+8 x3y3 - 4 x2y +3 x
Ed ora a Voi:

(-35 a6b3 + 20 a4b2 – 15 a3b) : (-5 a2b)

Come sempre, potrete inviare richieste, spiegazioni e/o risposte mediante commento.
NR, Nonna Rispondente

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