frazioni generatrici (numeri periodici)

Gentilissimi,
continuiamo con le frazioni generatrici.

B) FRAZIONI GENERATRICI DI NUMERI DECIMALI ILLIMITATI PERIODICI SEMPLICI

Con numeri decimali, come già visto, intendiamo numeri "con la virgola". Il termine "illimitati" significa che, dopo la virgola, è sempre possibile trovare una o più cifre di unità decimale. Appare evidente che tali unità divengano sempre minori, spostandosi, nella scrittura del numero, verso destra. In altre parole, le cifre dopo la virgola "non finiscono".
Si dicono numeri periodici quei numeri decimali in cui alcune cifre dopo la virgola si ripetono continuamente e consecutivamente.
Si parla di "numeri periodici semplici" se questo avviene per tutte le cifre di unità decimale, ossia per tutte le cifre dopo la virgola.
Il periodo è, appunto, dato dalle cifre che si ripetono. Esso è indicato da una lineetta sopra alle cifre che si ripetono. E' possibili pure indicare il periodo tra parentesi tonde.

Facciamo un esempio. Osserviamo il numero decimale seguente:
 17,565656565656......

E' evidente che, dopo la virgola, si ripetono illimitatamente le cifre 56.
Il numero è scritto 17,(56) e si legge 17 e 56 di periodo. Oppure 17 con periodo 56.

Come è possibile trasformare tale numero in una frazione?

a) Scriviamo il numero 17, (56)
b) inseriamo sotto alle cifre del periodo un asterisco per ogni cifra:

17, (5 6)
       *  *
c) rappresentiamo una frazione, riportando al denominatore un numero di asterischi uguale al numero di cifre del periodo. In questo caso metteremo due asterischi:

17, (5 6) = .........................../
       *  *                                  *  *

d) al denominatore scriviamo, sopra ad ogni asterisco la cifra 9. Ecco cosa si ottiene:
17, (5 6) = .........................../ 9  9
       *  *                                  *  *

e) al numeratore inseriamo un segno di sottrazione. E' questo il significato della lineetta del periodo.

17, (5 6) = ............... - ................/ 9  9
       *  *                                          *  *

f) come sottraendo, quindi dopo il segno meno, inseriamo le cifre prima del periodo. In questo esempio inseriremo le cifre 17:

17, (5 6) = .............. - 17/ 9  9
       *  *                            *  *

g) al minuendo inseriamo tutte le cifre che compongono il numero dato: 1 7 5 6

17, (5 6) = 1756 - 17./ 9  9
       *  *                        *  *

h) risolviamo la sottrazione al numeratore:

17, (5 6) = 1739./ 9  9
       *  *                *  *

i) riduciamo, se possibile, ai minimi termini tale frazione. Poiché la frazione 1739/99 è già ridotta ai minimi termini, essa è la frazione generatrice del numero 17, (56)


Ed ora esercizio!

Trovate le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali periodici semplici:

1,(8)
0, (236)        
(n.d.n.: nota della nonna: rileggete, per questo caso, ciò che è già scritto in un precedente post)
43,(71)
85,(907)
203,(2)

Buon lavoro! NR