corr. ver. calcolo letterale (11)

Gentilissimi e gentilissime,

cosa si intende con “doppia sostituzione” nel calcolo letterale?

Semplicemente, partendo da un monomio o polinomio, si sostituisce una lettera con un altro monomio o un altro polinomio. In seguito si assegnano valori alle lettere “rimaste” per calcolare il valore finale.

A mio avviso, mho, come dite Voi giovanotti, è più facile da farsi (per quanto ci riguarda, evidentemente) che a dirsi. Prendiamo un esercizio come esempio, ovviamente casuale e non causale.

·        DATO IL MONOMIO SEGUENTE (-10 X²Y), SOSTITUISCI SAPENDO CHE X=(-a); Y=(+2b²). IN SEGUITO TROVA IL VALORE NEL CASO IN CUI a=(-2); b=(-1)

Come si procede? Don Tibulon suggerisce: “Senza saltare i passaggi, per caso?”. Ottimo, Don Tibulon! La Tua nonna sarà orgogliosa di Te!

Osserviamo l’esercizio. Per facilitarne la lettura, le lettere del primo monomio sono scritte in maiuscolo.

Come ripetuto in precedenti post, aumentiamo l’ordine gerarchico delle parentesi. Aggiungiamo parentesi tonde alle sole lettere. Otterremo quanto segue:

[-10 (X)² (Y)]

Ora sostituiamo, come richiesto “SAPENDO CHE X=(-a); Y=(+2b²)”:

[-10 (- a)² (+2 b² )]

A questo punto sono possibili due metodi per proseguire.

1) Potremmo risolvere il monomio, come segue:

[-10 (- a)² (+2 b² )]        

Risolviamo le potenze:

[-10 (+a² )(+2 b² )]

Risolviamo le moltiplicazioni, con “SCLER0”:

[-20 a² b² ]

Ora effettuiamo il solito aumento gerarchico delle parentesi, inserendo le sole lettere in parentesi tonde:

{-20 (a)² (b)² }

Sostituiamo con ii valori assegnati:

{-20 (-2)² (-1)² }

Risolviamo, al solito, le potenze (Parrucchiera Giusta, DEVI lasciare le parentesi, altrimenti la moltiplicazione non è più tale!):

{-20 (+4) (+1) }

{-80 }

2) Un secondo metodo di risoluzione può essere il seguente:

[-10 (- a)² (+2 b² )]

Aumentiamo subito l’ordine gerarchico delle parentesi

{-10 [- a]² [+2 b² ]}

Mettiamo le sole lettere in parentesi tonda:

{-10 [- (a)] ² [+2 (b) ² ]}

Sostituiamo con i valori in richiesta:

{-10 [- (-2)] ² [+2 (-1) ² ]}

Risolviamo l’espressione con i relativi che abbiamo ottenuto. Prima le tonde:

{-10 [+2] ² [+2 (+1) ]}

Risolviamo nelle quadre:

{-10 [+2] ² [+2 ]}

Risolviamo la potenza:

{-10 [+4] [+2 ]}

Risolviamo la moltiplicazione:

{-80 }

Come potete notare, il valore trovato è il medesimo. Scegliete pure il metodo che Vi sembra migliore per Voi, magari provate con l’esercizio seguente:

DATO IL MONOMIO SEGUENTE (-2 A³B²), 

     SOSTITUISCI SAPENDO CHE A=(+2x); Y=(-b²). 

     IN SEGUITO TROVA IL VALORE NEL CASO IN CUI a=(+1); b=(-10)

Buon lavoro e aspetto sempre Vostre notizie, soluzioni e richieste. Altrimenti sentirete che urli!

NR, Nonna Roboante

corr. ver. calcolo letterale (10)

Gentilissimi e gentilissime,

continuiamo con la ipotetica correzione di una virtuale verifica di calcolo letterale.

Proviamo a calcolare il valore di un polinomio per valori assegnati.

Come in un post precedente, aumentiamo l’ordine gerarchico delle parentesi presenti. Mettiamo, poi, in tonde le sole lettere. Proviamo con un casuale esempio:

·        DATO IL POLINOMIO SEGUENTE (-2 a³b + 3ab²), con a=(-2); b=(-10), TROVANE IL VALORE

Dopo il passaggio precedente, dovremmo ottenere:

[-2 (a)³ (b) + 3(a)(b)² ]

Ora possiamo sostituire ogni lettera con i relativi valori. Otteniamo:

[-2 (-2)³ (-10) + 3(-2)(-10)² ]

Risolviamo prima le potenze. Ricordo la famosa domanda: “E’ il caso negativo e dispari?”

[-2 (-8) (-10) + 3(-2)(+100) ]

Ora risolviamo le moltiplicazioni (e solo le moltiplicazioni!). Ricordo la tabella dei segni:

[-160 -600 ]

Miss Boccoli, non è una moltiplicazione, per cui il segno sarà “-“. Sommiamo, ottenendo il valore richiesto:

-760

Provate Voi, con il seguente esercizio:

Dato il binomio seguente (-5 a²b³ + 2ab²), con a=(-3); b=(-1), trovane il valore

Nel prossimo post proveremo la “doppia sostituzione”. No, Giovane Pallavolista, non è una tattica per alzare il muro a volley!

Eh, ai miei tempi non era presente il ruolo del libero, altrimenti sarebbe stato il mio, da buona ricevitrice

NR, Nonna Ricevitrice (una volta, “Once upon a time”)

corr. ver. calcolo letterale (9)

Gentilissimi e gentilissime,

proseguiamo con la correzione della virtuale verifica di calcolo letterale.

Sicuramente saprete cosa si intende con “metodo di sostituzione”. Al posto di una lettera, all’interno di un monomio o di un polinomio, si inserisce il valore assegnato, oppure un valore da “trovare”.

Facciamo un esempio:

·        DATO IL MONOMIO (+2 x³y), CON x=(-1);   y=(+2), TROVANE IL VALORE

Cosa significa la consegna? Significa che il valore attribuito alla lettera (x) è (-1); il valore attribuito alla lettera (y) è (+2).

Osserviamo il monomio di partenza. Si tratta di un monomio di grado 4. Ricordo che il grado di un monomio è dato dalla somma degli esponenti della parte letterale dello stesso monomio. Ricordo ad Agriturismo Bambi che, se non espresso, l’esponente sottinteso è (1).

Procediamo un passo per volta (senza “salti”, vero Don Tibulon?). Aumentiamo di un ordine gerarchico le parentesi presenti. Mettiamo in parentesi tonde LE SOLE LETTERE, non gli esponenti. Ecco cosa dovremmo ottenere:

[+2 (x)³ (y)]

Ora possiamo sostituire come richiesto in consegna:

[+2 (-1)³ (+2)]

Ciò che abbiamo ottenuto è un’espressione con numeri relativi. Risolviamo, dapprima, le potenze. Ricordo che, come disse Miss Boccoli, “è il caso negativo e dispari”? In questo esercizio direi proprio di sì! (-1) exp 3: la base è proprio negativa, l’esponente è dispari. Quindi il segno, IN PARENTESI, sarà negativo:

[+2 (-1) (+2)]

Risolviamo ora la moltiplicazione (MOLTIPLICAZIONE, Giusta Parruchiera e Pasticciera). Prima il segno:

“+ per – per +”

I fattori con base negativa sono dispari, quindi il segno del prodotto sarà negativo. Poi effettuiamo la moltiplicazione tra i valori assoluti 2 per 1 per 2, ossia 4. Ecco cosa si ottiene:

[-4]

Che è il valore del monomio assegnato per i valori assegnati.

Provate ora Voi:

(- 3 a² b⁴)      CON (a) = (-5); (b)=(-1)

Al solito, se volete, inviate i Vostri esercizi per commento.

NR, Nonna Ripetitiva

correzione verifica calcolo letterale (8)

Gentilissimi e gentilissime,

proseguiamo con l’ipotetica e virtuale correzione di una verifica di calcolo letterale.

Come ben saprete, un “prodotto notevole” è un metodo mnemonico per velocizzare il calcolo tra monomi o polinomi. In tal modo, e Dante sarà contento di ciò!, è possibile “saltare” i passaggi.

Uno tra i prodotti notevoli più noti è quello “somma per differenza di un binomio”, abbreviato in “somma per differenza”. La regola mnemonica da applicare dice che: “Quadrato del primo meno quadrato del secondo”, nel caso in cui si debbano moltiplicare la somma di due monomi per la loro differenza.

Scriviamo la formula di sviluppo e, successivamente, facciamo un esempio qualsiasi:

[(A) + (B)] [(A) – (B)] = [(A)² – (B)²]

Ehm…, la formula di sviluppo, in quanto “regola mnemonica”, DEVE essere imparata “a memoria” (altrimenti non sarebbe mnemonica, non credete?).

Vediamo mediante un esempio:

(-5 a⁴ + 3 b²) (-5 a⁴ - 3 b²)

Come sempre, dapprima osserviamo l’esercizio assegnato. Si tratta di una moltiplicazione tra binomi. Il primo monomio rimane lo stesso. Il secondo monomio “cambia di segno”, ossia, nei due fattori, i due monomi dopo il primo sono uno l’opposto dell’altro. È proprio questo il caso in cui possiamo applicare “Somma per differenza”.

Denominiamo (A) il primo monomio e (B) il secondo. Non importa se consideriamo il secondo monomio con segno positivo o negativo.

In altri termini

(A) = (-5 a⁴ )                (B) = (+ 3 b²)

Ora sostituiamo nella formula sopra scritta:

(-5 a⁴ + 3 b²) (-5 a⁴ - 3 b²) = [(A)² – (B)²] = [(-5 a⁴)² – (+ 3 b²)²]

Risolviamo le due potenze presenti, sempre con “SCLER0”. Ricordo la proprietà “potenze di potenze” (si moltiplicano gli esponenti):

[(-5 a⁴)² – (+ 3 b²)²]

[(+25 a⁸) – (+ 9 b⁴)]

Ora possiamo “cambiare di segno al monomio nella seconda parentesi tonda, togliendo le parentesi, anche le quadre:

+25 a⁸ –  9 b⁴

Non eccessivamente complicato, non credete?

Ora provate Voi e, come al solito, se volete, inviate per commento soluzioni e richieste:

(+ 3x²y – 5xy²)( (+ 3x²y + 5xy²)

NR, Nonna Reminiscente

Triangolo di Tartaglia e potenze

Gentilissimi e gentilissime,

in un post precedente potete osservare il famoso Triangolo di Tartaglia.

Come già detto, era noto già ad altri studiosi in precedenza.

Prendo lo spunto per ricordare altri matematici, forse meno famosi, che hanno avuto a che fare con tale schema, come il matematico profumista Varahamihira, o il matematico-poeta Halayudha, che lo chiama “Scala del Monte Meru”.

Ma che ha a che fare con le potenze? Oltre alla formula di Newton, presentata in post precedenti, proviamo ad osservare meglio.

Ripropongo il triangolo di Tartaglia, riprendendolo da Wikipedia:

Proviamo a sommare i numeri in ogni riga.

Potremmo ottenere qualcosa di simile:

riga n°	numeri presenti	Somma
1	1	1
2	1;1	2
3	1;2;1	4
4	1;3;3;1	8
5	1;4;6;4;1	16

Notate qualcosa? Non sembra simile (mooolto simile!) alla tabella che abbiamo costruito per i numeri binari?

Il Triangolo di Tartaglia “nasconde” anche le potenze di 2. Infatti possiamo aggiungere una colonna a destra:

riga n°	numeri presenti	Somma	2 n
1	1	1	2 0
2	1;1	2	2 1
3	1;2;1	4	2 2
4	1;3;3;1	8	2 3
5	1;4;6;4;1	16	2 4

E così via. Interessante, non credete?

Proviamo ora a scrivere i numeri di ogni riga consecutivamente. Otterremo una tabella come la seguente:

riga n°	numeri presenti	Numero risultante
1	1	1
2	1;1	11
3	1;2;1	121
4	1;3;3;1	1331
5	1;4;6;4;1	14641

Nuovamente: notate qualcosa? Sono le potenze con base 11. Possiamo costruire una colonna a destra. Otterremo:

riga n°	numeri presenti	Numero risultante	11 n
1	1	1	11 0
2	1;1	11	11 1
3	1;2;1	121	11 2
4	1;3;3;1	1331	11 3
5	1;4;6;4;1	14641	11 4

Le cose si complicano se proseguiamo con potenze successive. Iniziano a comparire numeri di due cifre. Dovremo effettuare i “riporti”. In altre parole, le decine si “spostano” di una casella a sinistra, aggiungendosi al numero presente. Facciamo un esempio.

La riga successiva è formata dai numeri 1-5-10-10-5-1. Segno in colore le decine e unità interessate. Otteniamo:

1-5-10-10-5-1

Come detto in precedenza, effettuiamo i “riporti”:

1-(5+1)-(0+1)-(0)-5-1

Da cui: 1-6-1-0-5-1. Per cui 11 ⁵ = 161051

Provate Voi a trovare, senza calcolatrice, effettuando correttamente i “riporti”, 11 ⁷

11 ⁷ = ?

Ovviamente dovete utilizzare il Triangolo di Tartaglia.

Al solito, inviate pure risposte e richieste mediante commento!

NR, Nonna Riportante

correzione verifica calcolo letterale (7)

Gentilissimi e gentilissime,

riprendiamo lo sviluppo della potenza di un binomio, mediante la formula del binomio “di Newton”.

Ricordate? Si parte dal triangolo di Tartaglia.

Dopo alcuni passaggi, semplici se non li saltate (vero, De la Playa Tibulon?), otterremo la formula cercata.

Proviamo con la quarta potenza di un binomio:

+1    (A) ⁴  + 4   (A) ³  (B)   +6   (A) ²  (B)  ²    + 4    (A)   (B)  ³     + 1 (B)  ⁴   

Proviamo ora a risolvere un esercizio, come ipotetica correzione di una verifica di calcolo letterale:

Risolvi il quadrato del binomio seguente:

·        (-4 x³y + 2 xy²) ² 

Osserviamo, come sempre, la tipologia dell’esercizio. Si tratta della potenza di un binomio. Possiamo risolverla mediante il triangolo di Tartaglia e la formula di Newton. Scriveremo la formula relativa alla potenza seconda:

+1    (A) ²  + 2   (A)   (B)   +1  (B)  ²    

Consideriamo, ora, i due monomi. Poniamo (-4 x³y) = (A);   poniamo (+ 2 xy²)=(B)

Ora potremo sostituire, come segue:

+1    (-4 x³y) ²  + 2   (-4 x³y)   (+ 2 xy²)   +1  (+ 2 xy²)  ²    

Otteniamo tre monomi. Il primo monomio si risolve come potenze; il secondo come prodotto; il terzo e ultimo, ancora, come potenza. Risolviamo dapprima le potenze, rispettando le proprietà delle potenze, in particolare “potenza di potenza”. Ricordo a Bambie che, se non è indicato, l’esponente sottinteso è 1. Ricordo alla Giusta Parrucchiera Pasticciera che “si moltiplicano gli esponenti”.

Eseguiamo le potenze (e attenti ai segni!):

+1    (-4 x³y) ²  + 2   (-4 x³y)   (+ 2 xy²)   +1  (+ 2 xy²)  ²    

+1    (+ 16 x⁶y ² ) + 2   (-4 x³y)   (+ 2 xy²)   +1  (+ 4 x²y⁴  )

Risolviamo i tre prodotti (Miss Boccoli: QUESTA è una moltiplicazione!). Usiamo “SCLER0”. Ricordo che, nel prodotto di potenze con ugual base, “si sommano gli esponenti”:

  + 16 x⁶y ² – 16 x⁴y³ + 4 x²y⁴  

Provate Voi!

Risolvete la seguente potenza di un binomio:

(- 2 a³b² + 10 a²b³) ³

Buon lavoro! Al solito, se avete bisogno di ulteriori chiarimenti, spiegazioni e/o esercizi, inviate tutto per commento.

NR, Nonna Ricordante (per ora…)

triangolo di Pascal o Tartaglia? Correzione verifica calcolo letterale (6)

Gentilissimi e gentilissime,

conoscerete, senza dubbio, il celeberrimo Triangolo di Tartaglia, noto, oltre che per essere una domanda de “L’Eredità”, come Triangolo di Pascal.

La diatriba su chi fu ad idearlo è facilmente risolvibile:

Nicolò Fontana, detto Tartaglia morì nel 1557. Biagio Pascal nacque nel 1623.

Probabilmente, tuttavia, furono cinesi, come Yang Hui, o matematici-poeti arabi, come Al-Karaji, a scoprire per primi tale triangolo. Personalmente preferisco di Tartaglia, in quanto fornisce la possibilità di raccontare la storia del confronto-scontro tra Tartaglia e Cardano. O forse è solo un modo per ricordarci che i matematici italiani sono tra i più rinomati al mondo. E, ogni tanto, ci fa bene ricordarlo.

Tant’è!

EccoVi il triangolo di Tartaglia, ripreso da Wikipedia.

Ovviamente, come ben saprete, ogni numero è dato dalla somma dei numeri scritti in precedenza sopra a destra e sopra a sinistra. Il primo numero di ogni riga è 1.

Se dovessimo continuare con la riga successiva, troveremmo:

1 – 8 (7+1) – 28 (7+21) – 56 (21+35) – 70 (35+35) - 56 (21+35) - 28 (7+21) – 8 (7+1) – 1

Ogni riga è nota come “formula del binomio di Newton”, sebbene, come già detto, Al-Karaji ne facesse già uso. È il valore della fama. E, in matematica, questo spesso accade.

Ogni riga, dicevamo, permette di trovare i coefficienti per la formula di sviluppo delle potenze di un binomio qualsiasi.

Prendiamo, come esempio, la riga 1-5-10-10-5-1. Si tratta dei coefficienti della potenza quinta di un binomio generico (A+B), ossia (A+B) ⁵.

Scriviamo i coefficienti separandoli e inserendo, prima di ogni valore, il segno “+”. Otterremo:

+1               + 5              +10                          + 10                       + 5                     + 1

A questo punto, trattandosi di un binomio, mettiamo, tra parentesi tonde, il primo monomio, indicato con (A), moltiplicato per il secondo monomio, indicato con (B). Ecco cosa otterremo:

+1    (A)  (B)     + 5   (A)  (B)   +10      (A)  (B)      + 10      (A)  (B)   + 5      (A)  (B)      + 1    (A)  (B)

Inseriamo gli esponenti. Metteremo in ordine decrescente gli esponenti del primo monomio, partendo da sinistra. Faremo la stessa cosa per gli esponenti del secondo monomio, questa volta partendo da destra. Alla fine otterremo questo:

+1  (A) ⁵ (B) ⁰  + 5  (A) ⁴  (B) ¹  +10 (A) ³  (B)  ²  + 10  (A) ²  (B)  ³ + 5   (A) ¹ (B)  ⁴ + 1  (A) ⁰ (B) ⁵

Togliamo gli esponenti 1, che saranno sottointesi. Ricordo, inoltre, che un numero elevato alla zero è (+1), quindi possiamo non scrivere le potenze con exp 0.

Ecco cosa otterremo:

 +1    (A) ⁵  + 5   (A) ⁴  (B)   +10   (A) ³  (B)  ²    + 10    (A) ²  (B)  ³     + 5   (A)  (B)  ⁴    + 1  (B) ⁵

Questa è la formula di sviluppo per la potenza quinta di un binomio. Ora, con cautela ed attenzione, se avessimo un binomio maggiormente complesso, potremmo semplicemente sostituire ad (A) il primo monomio e a (B) il secondo monomio. Ricordo pure che prima dovremo svolgere le potenze e, solo successivamente, risolveremo le moltiplicazioni.

Nel prossimo post faremo un esempio non generico.

Per ora il Vostro compito sarà il seguente:

rappresentate il Triangolo di Tartaglia sino a exp 10 (sino ad exp 7 è in figura). Potrete utilizzare la calcolatrice. 

Mi raccomando, come diceva John Bercow (cit.),: “Order!”

NR, Nonna Rappresentata, o Rappresentante?