soluzione problema - dal piano cartesiano al solido (con scuse)

Nonna mia, che disastro! Ecco che anche la nonna predica bene e razzola male. Non ho ricontrollato che la formula da me messa fosse leggibile! Spero, con oggi, dopo le opportune modifiche, di aver rimediato. Fatemi sapere.
Continuiamo con la soluzione del problema, con post datato maggio 2012, in preparazione per l'esame di stato di terza media.
Dopo aver trovato perimetro ed area del rettangolo era richiesta la misura del segmento AC, ossia della diagonale del rettangolo. Si potrebbe, ancora, trovare grazie alla formula per la distanza tra due punti. Penso, tuttavia, che utilizzare il teorema di Pitagora fosse più opportuno. Prendendo il triangolo rettangolo ABC, dovremmo trovarne l'ipotenusa AC. Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo ABC, possiamo dire che:

  i ² = c₁ ² + c ₂ ²

AC ² = BC ² + AB ²

AC = √ BC ² + AB ²

AC = √ 5 ² + 12 ²

AC = √ 25+ 144 = √169 = 13 u

Era possibile pure, considerando le misure dei cateti, utilizzare la terna pitagorica 5-12-13.

Giungiamo, ora, alla parte meno ovvia del testo del problema. Nel testo è riportato un generico "solido retto". Di quale solido si parla? Dalla figura di base potremmo desumere che si tratti di una piramide a base rettangolare, oppure di un parallelepipedo rettangolo. 

Nel primo caso l'altezza cadrebbe nel punto di incontro delle due diagonali. Nel secondo caso tutti gli spigoli delle facce laterali sono perpendicolari alla base nei vertici del poligono di base. 
Se consideriamo la piramide dovremmo prendere in considerazione il fatto che le facce laterali sono uguali a due a due. Per questo motivo dovremmo trovare due apotemi laterali. In altre parole non è sufficientemente chiaro se il solido è una piramide o meno. 
Consideriamo pure le condizioni di svolgimento di questa prova: se fossimo in presenza di possibile utilizzo della calcolatrice, saremmo, in qualche modo, obbligati a presentare due possibili poliedri, con doppi calcoli per: Area della superficie totale, Volume, Peso.
Nel caso contrario dovremmo chiederci: avrà sbagliato la docente? Chiedere conferma sulla corretta lettura di un testo è, quasi sempre, una richiesta lecita. Proviamo a controllare se, ricercando, ad esempio, il volume della piramide i calcoli sono "sufficientemente semplici".
Il volume dalla piramide retta si trova con la formula:

V = Area di base x altezza della piramide : 3
V = 60 x 8 : 3 = 160 cm ³ 
non eccessivamente complicato, come calcolo.

Proviamo con la ricerca dei due apotemi.
Indicando con T il vertice della piramide e con K il punto di incontro delle diagonali di base, l'altezza della piramide sarebbe data dal segmento TK. Chiamati F il punto medio del segmento AB, e G il punto medio del segmento BC, allora gli apotemi da trovare sarebbero dati dai segmenti TF e TG. Se anche in questo caso i calcoli dovessero essere "semplici", allora la richiesta è, in realtà, una duplice richiesta, riguardante sia la piramide sia il parallelepipedo rettangolo. Nel caso contrario, dovremmo chiedere conferme alla docente.
Iniziamo a calcolare le misure dei segmenti AF, ossia metà di AB, e BG, ossia metà di BC:
AF = AB : 2 = 12 : 2 = 6 u
BG = BC : 2 = 5 : 2 = 2,5 u
Il segmento AF è congruente al segmento GK, mentre il segmento BG è congruente al segmento FK.
Analizziamo il triangolo rettangolo TKF, con ipotenusa pari all'altezza della faccia laterale ABT, ossia ad uno degli apotemi da trovare. Applichiamo il teorema di Pitagora a questo triangolo rettangolo. I calcoli sotto radice non sono, neppure con l'utilizzo delle tavole numeriche, di immediata soluzione. Con la calcolatrice, al contrario, i calcoli sarebbero:
TF = √ 2,5 ² + 8 ²

TF = √ 6,25+ 64 = √70,25 = 8,38  u circa

Analogamente per TG.

TG = √ 6 ² + 8 ²

TG = √ 36+ 64 = √100 = 10  u 

E pensare che abbiamo solo trovato gli apotemi. 
Alla prossima! NR