proprietà quattro operazioni (parte 1): introduzione e proprietà commutativa

Gentilissimi,
che complicazione! A cosa serviranno mai le proprietà delle operazioni? Perché bisogna impararle? Quando mai mi serviranno?
Forse le proprietà delle operazioni servono solo per velocizzare il calcolo. Ma allora basta una calcolatrice! O forse servono anche a qualcosa di diverso. A Voi lascio il dubbio e la diatriba.
Partiamo dal significato delle parole e degli aggettivi:
l'addizione ha proprietà commutativa, dissociativa, associativa;
la sottrazione ha proprietà invariantiva;
la divisione ha proprietà invariantiva. Tuttavia è "invariantiva" in un modo diverso dalla "invariantiva della sottrazione". Ha altre proprietà che, per quanto ci riguarda, non consideriamo.
La moltiplicazione ha proprietà come l'addizione. Inoltre ha proprietà distributiva. Le differenze tra distributiva destra e distributiva sinistra lasciamole per ora da parte.
Vediamo il significato di queste parole, con l'uso di un buon vocabolario:
* proprietà: qualità posseduta, precisione, correttezza, diritto, decoro, ordine, eleganza.
* commutativa: da commutare: cambiare, scambiare, permutare, mutare, trasformare.
* associativa: da associare: mettere insieme per uno scopo, mettere in relazione, unirsi, sostenere.
* dissociativa: da dissociare: separare, dividere, staccare, interrompere la collaborazione.
* invariantiva: da invariare: non cambiare, rimanere costante.
Proviamo ad immaginare un ballo, magari ad una festa, con musica, gente che chiacchiera, cibo e bibite di vario tipo. Ad un certo punto, un Vostro amico Vi chiede se sia possibile scambiarsi di posto. In pista (chissà se si dice ancora così?) due ragazzi ballano un rock. Nel bel mezzo della musica la ragazza, che era a sinistra, rispetto a Voi, va a destra. Pure il compagno, che la sta prendendo per mano, passa da destra a sinistra. Questo è bello da vedere, se i due ballano con eleganza, se lo scambio avviene con precisione, con ordine, correttamente. Si dice, infatti, che i due ballano con proprietà.  Ecco che i due ballerini si sono "commutati", hanno cambiato tra loro il proprio posto. Chiamiamo i due ballerini Ada e Bruno. la situazione iniziale è Ada a sinistra e Bruno a destra: ADA   BRUNO. In seguito la situazione è, appunto, commutata: Bruno a sinistra e Ada a destra: BRUNO   ADA. Se tra i due ballerini si vedeva una finestra, la finestra si vede ancora. La situazione, con finestra, diviene: ADA FINESTRA BRUNO, si trasforma in BRUNO FINESTRA ADA. Usando i numeri: 4 + 23 diviene 23 + 4. Facile, non credete?
Una ROSA NONNA, ops! Una NONNA ROSA